Thi thử KHTN đợt $5$ ( vòng $2$ )
Câu $1$ : Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn đẳng thức
$x^{3}+y^{3}+(x+y)^{3}+30xy=2000$
Chứng minh $x+y=10$
Câu $2$ : a) Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n^{4}+n^{3}+n^{2}+n+1$ là số chính phương .
b) Cho $(a+b)(b+c)(a+c)=1$ và $a,b,c>0$ . Tìm max $ab+bc+ac$
Câu $3$ : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Gọi $P$ là một điểm trong tam giác sao cho $AP$ là phân giác góc $BAC$ . Kẻ $PF,PE$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ . Kẻ đường vuông góc với $AP$ tại $A$ cắt $(O)$ tại $D$ , kẻ $DP$ cắt $EF$ tại $Q$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$.
a) Chứng minh $MQ$ song song $AP$
b) Gọi $(K),(L)$ là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BQF$ và $CQE$ . Chứng minh rằng $(K)$ và $(L)$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$
c) Kéo dài $QM$ cắt $(K),(L)$ lần lượt tại $S,T$ . Chứng minh rằng trung trực $ST$ và $AO$ giao nhau tại một điểm trên $(O)$
Câu $4$ : Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ thì tồn tại các số nguyên dương phân biêt .$a_{1},a_{2},........a_{n}$ mà với mọi $1\leq i < j \leq n$ mà $a_{i}+a_{j}$ chia hết cho $a_{j}-a_{i}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 27-05-2014 - 09:58