Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 27-05-2014 - 20:27

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$



#2 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 27-05-2014 - 20:34

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

Ta có : 

$S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\sum \frac{x^4}{x^3+x^2y+y^2x}\geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{x^3+x^2y+y^2x+y^3+y^2z+z^2y+z^3+zx^2+x^2z}=\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x+y+z \right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=3$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3 yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi tp Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán , Lý thích xem doraemon và conan

Đã gửi 27-05-2014 - 20:44

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

$\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{x(x^{2}+xy+y^{2})-xy(x+y)}{x^{2}+xy+y^{2}}=x-\frac{xy(x+y)}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq x-\frac{xy(x+y)}{3xy}=x-\frac{x+y}{3}$

tương tự $\frac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}\geq y-\frac{y+z}{3};\frac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq z-\frac{z+x}{3}$

Cộng vế $\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{x+y+z}{3}=3$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=3


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#4 I Am Gifted So Are You

I Am Gifted So Are You

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tương lai
  • Sở thích:Xem phim hoạt hình và nghe nhạc
    Các thể loại yêu thích : soul, pop, vv..

Đã gửi 27-05-2014 - 20:49

Bằng việc xét hiệu cm dc $\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}-\sum \frac{y^3}{x^2+xy+y^2}=0\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\frac{1}{2}\sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}$ 

Có $x^3+y^3\geq \frac{1}{3}(x+y)(x^2+xy+y^2)\Rightarrow \sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2}{3}(x+y+z)=6$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq 3$



#5 yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi tp Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán , Lý thích xem doraemon và conan

Đã gửi 27-05-2014 - 20:52

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

C2:

$\sum \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=0\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\sum \frac{y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\Rightarrow 2S=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\sum \frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{x^{2}+xy+y^{2}}$

Lại có $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{x+y}{3}$

$\Rightarrow 2S=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{2(x+y+z)}{3}\Leftrightarrow S\geq 3$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#6 hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:học toán và chơi thể thao
    →♡Math♡←

Đã gửi 27-05-2014 - 21:52

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

Biến đổi tương đương ta có 

$\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2x-y}{3}$

Tương tự với y, z. Cộng vế với vế ta có minS=3


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh