Chủ đề này có 5 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

[Trang Luong]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

Ta có : 

$S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\sum \frac{x^4}{x^3+x^2y+y^2x}\geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{x^3+x^2y+y^2x+y^3+y^2z+z^2y+z^3+zx^2+x^2z}=\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x+y+z \right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=3$

[yeutoan2604]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

$\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{x(x^{2}+xy+y^{2})-xy(x+y)}{x^{2}+xy+y^{2}}=x-\frac{xy(x+y)}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq x-\frac{xy(x+y)}{3xy}=x-\frac{x+y}{3}$

tương tự $\frac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}\geq y-\frac{y+z}{3};\frac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq z-\frac{z+x}{3}$

Cộng vế $\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{x+y+z}{3}=3$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=3

[I Am Gifted So Are You]

Bằng việc xét hiệu cm dc $\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}-\sum \frac{y^3}{x^2+xy+y^2}=0\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\frac{1}{2}\sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}$ 

Có $x^3+y^3\geq \frac{1}{3}(x+y)(x^2+xy+y^2)\Rightarrow \sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2}{3}(x+y+z)=6$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq 3$

[yeutoan2604]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

C2:

$\sum \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=0\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\sum \frac{y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\Rightarrow 2S=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\sum \frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{x^{2}+xy+y^{2}}$

Lại có $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{x+y}{3}$

$\Rightarrow 2S=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{2(x+y+z)}{3}\Leftrightarrow S\geq 3$

[hoangson2598]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $x+y+z=9$
tìm Min $S=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

Biến đổi tương đương ta có 

$\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2x-y}{3}$

Tương tự với y, z. Cộng vế với vế ta có minS=3