Cho a, b, c > 0 và $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$. Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
#1
Đã gửi 27-05-2014 - 22:29
#2
Đã gửi 28-05-2014 - 08:42
Ta có : $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}-ab-bc-ac\right )$$\left ( \sum a^{2} \right )^{3}= \left [ \frac{\left ( \sum a \right )^{2}+2\left ( \sum a^{2} -\sum ab\right )}{3} \right ]^{3}\geq \left ( \sum a \right )^{2}\left ( \sum a^{2}-ab \right )^{^{2}}= \left ( \sum a^{3}-3abc \right )^{2}= 1$
Bài này mình đã xem ơ cuốn sách nào ý
nhưng quen tên mất rồi
- toanc2tb và Huuduc921996 thích
#3
Đã gửi 28-05-2014 - 16:26
Ta có: $1=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}-ab-bc-ac\right )$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b+c=x> 0\\ a^2+b^2+c^2=P>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x(3P-x^2)=2\Leftrightarrow x^3-3Px+2=0$
Xét $f(x)=x^3-3Px+2\\ f'(x)=3x^2-3P\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\sqrt{P}\\ x=\sqrt{P} \end{bmatrix}\\$
Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 0=f(x)\geq f(\sqrt{P})=2-2P\sqrt{P} \Leftrightarrow P\geq 1$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{P}\\ x^3-3Px+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2=P=1\Leftrightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow a=1;b=0;c=0$ và các hoán vị
- megamewtwo yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh