Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$. Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$



#2
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

Ta có : $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}-ab-bc-ac\right )$$\left ( \sum a^{2} \right )^{3}= \left [ \frac{\left ( \sum a \right )^{2}+2\left ( \sum a^{2} -\sum ab\right )}{3} \right ]^{3}\geq \left ( \sum a \right )^{2}\left ( \sum a^{2}-ab \right )^{^{2}}= \left ( \sum a^{3}-3abc \right )^{2}= 1$

Bài này mình đã xem ơ cuốn sách nào ý 

nhưng quen tên mất rồi :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:



#3
Huuduc921996

Huuduc921996

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Ta có: $1=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}-ab-bc-ac\right )$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b+c=x> 0\\ a^2+b^2+c^2=P>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x(3P-x^2)=2\Leftrightarrow x^3-3Px+2=0$

Xét $f(x)=x^3-3Px+2\\ f'(x)=3x^2-3P\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\sqrt{P}\\ x=\sqrt{P} \end{bmatrix}\\$

Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 0=f(x)\geq f(\sqrt{P})=2-2P\sqrt{P} \Leftrightarrow P\geq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{P}\\ x^3-3Px+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2=P=1\Leftrightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow a=1;b=0;c=0$ và các hoán vị






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh