Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c từng đôi một khác nhau và $0\leq a,b,c\leq 2$. CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

[Huuduc921996]

Cho a, b, c từng đôi một khác nhau và $0\leq a,b,c\leq 2$. CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $0\leq c< b< a\leq 2$

Ta có: 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)} = \frac{8}{4(a-b)(b-c)}\geq \frac{8}{(a-b+b-c)^2}= \frac{8}{(a-c)^2}$

Giờ ta chỉ cần chứng minh $\frac{9}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{4}$

điều này $\Leftrightarrow a-c\leq 2$ (luôn đúng với điều giả sử)

Dấu "=" xảy ra khi a=2; b=1; c=0 và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huuduc921996: 28-05-2014 - 16:03

[phamquanglam]

Không mất tính tổng quát ta giả sử $0\leq c< b< a\leq 2$

Ta có: 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{8}{(a-c)^2}$

Giờ ta chỉ cần chứng minh $\frac{9}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{4}$

điều này $\Leftrightarrow a-c\leq 2$ (luôn đúng với điều giả sử)

sao đang xét $a-b< a-c ; b-c< a-c$ thì tự nhiên lại có dấu "=" ở chỗ

$\frac{2}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{8}{(a-c)^{2}}$

[Huuduc921996]

sao đang xét $a-b< a-c ; b-c< a-c$ thì tự nhiên lại có dấu "=" ở chỗ

$\frac{2}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{8}{(a-c)^{2}}$

Chỗ này mình làm hơi tắt. Mình đã sửa lại rồi đó.