Chủ đề này có 1 trả lời

[phamquanglam]

Cho $1\leq a,b,c\leq 4; a\geq b; a\geq c$.

Tìm min P=$\frac{a}{2a+3b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

[Huuduc921996]

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: Với mọi $ab\geq 1$ thì

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + ab)}} \ge 0 \end{array}$(Đúng với ab$\geq$1)

Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\Rightarrow xyz=1$

Từ điều kiện bài toán ta dễ dàng có: $\frac{1}{4}\leq x\leq 1\Rightarrow 1\leq \sqrt{yz}\leq 2$

Khi đó: $P=\frac{1}{2+3x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{1}{2+3x}+\frac{2}{1+\sqrt{yz}}= \frac{1}{2+3x}+\frac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$

Đến đây khảo sát hàm số là xong.(Đây là Đề thi Đại Học khối A-2011)