Chủ đề này có 2 trả lời

[LifeOfLifex998]

Cho 3 số không âm x,y,z thoả mãn x+y+z=3. CMR

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+xyz\geq 4$

[Yagami Raito]

Cho 3 số không âm x,y,z thoả mãn x+y+z=3. CMR

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+xyz\geq 4$

 

Tham khảo tại đây

[Johan Liebert]

Cách khác:

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

 

$2(x^3+y^3+z^3)+3 \geq 3(x^2+y^2+z^2)$

 

Lại có $3 \leq x^2+y^2+z^2 \rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x^2+y^2+z^2$

 

$\leftrightarrow x^3+y^3+z^3+xyz \geq x^2+y^2+z^2+xyz $

 

Áp dụng bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$(chứng minh bằng Đi-dép-lê)

 

$\rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2xyz \geq x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)-1=8$

 

$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2 +xyz \geq 4(dpcm)$