Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c > 0
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$
#1
Đã gửi 28-05-2014 - 15:38
- Dam Uoc Mo yêu thích
#2
Đã gửi 28-05-2014 - 16:51
Không đề bài đúng phải là$\sum \frac{a^{3}}{\left ( a+b \right )^{3}}\geq \frac{3}{8}$
CM
Ta có:$16\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}-12a^{2}+1\geq 0\Leftrightarrow \left ( \frac{2a}{a+b} -1\right )^{2}\left ( \frac{4a}{a+b} +1\right )\geq 0$
nên Đpcm $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$
Ta có: $\left [ \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2} \right ]\left [ \sum \left ( a+b \right )^{2} \left ( a+c \right )^{2}\right ]\geq \left [ \sum a\left (a+c \right ) \right ]^{2}= \frac{1}{4}\left [ \sum \left ( a+b \right )^{2}\right ]^{2}$
ĐPCM: $\Leftrightarrow \left [ \sum \left ( a+b \right )^{2} \right ]^{2}\geq 3\sum \left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )^{2}$
Đặt : $\left ( a+b \right )^{2}=x;\left ( b+c \right )^{2}=y;\left ( a+c \right )^{2}=z$
BDT $\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )$
nên ta có ĐPcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 28-05-2014 - 20:24
- songchiviuocmo2014 yêu thích
#3
Đã gửi 28-05-2014 - 17:15
Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c > 0
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$
đặt $\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}=x & \\
\frac{c}{b}=y& \\
\frac{a}{c}=z&
\end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1$ Ta biến đổi BDT trở thành:
$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{8}$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$$\sum \left (\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8} \right )\geq \frac{3}{2}\sum \frac{1}{(1+x)^2}$$Bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng:
$$\sum \left (\frac{1}{1+x} \right )^2\geq \frac{3}{4}$$
Ta có
$\sum \left (\frac{1}{1+x} \right )^2\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{3}{4}+\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}~~~~~(DPCM)$
- dodinhthang98, khonggilakhongthe, songchiviuocmo2014 và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 28-05-2014 - 17:17
$\sum \frac{a^{3}}{\left ( a+b \right )^{3}}\geq \frac{3}{8}$
CM
Ta có$2\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}-3\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+2= \left ( \frac{a}{a+b} -1\right )^{2}\left ( \frac{2a}{a+b} +1\right )\geq 0$
nên Đpcm $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$
Cái này chả liên quan gì đến nhau cả
Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c > 0
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$
Áp dụng AM-GM ta có $\frac{2a^3}{(a+b)^3}+\frac{1}{8}\geqslant \frac{3a^2}{2(a+b)^2}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$ \sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}\geqslant \frac{3}{4}$
Đặt $(\frac{b}{a},..)=(x,..)\Rightarrow xyz=1$
BDT trở thành $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{3}{4}$
Sử dụng đánh giá cơ bản sau
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{z}{1+z}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geqslant 0$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c>0$
- hoctrocuanewton, leduylinh1998, songchiviuocmo2014 và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 28-05-2014 - 17:23
Cái này chả liên quan gì đến nhau cả
Áp dụng AM-GM ta có $\frac{2a^3}{(a+b)^3}+\frac{1}{8}\geqslant \frac{3a^2}{2(a+b)^2}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$ \sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}\geqslant \frac{3}{4}$
Đặt $(\frac{b}{a},..)=(x,..)\Rightarrow xyz=1$
BDT trở thành $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{3}{4}$
Sử dụng đánh giá cơ bản sau
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{z}{1+z}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geqslant 0$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c>0$
không biết nhưng mình thấy hợp lý mà
$2\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}\geq 3\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}-6$
nên mình nghĩ rằng ĐPCM $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$
#6
Đã gửi 28-05-2014 - 18:44
không biết nhưng mình thấy hợp lý mà
$2\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}\geq 3\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}-6$
Đẳng thức xảy ra khi nào thế ?
- megamewtwo yêu thích
#7
Đã gửi 30-05-2014 - 21:30
em làm như sau $a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{9} (a+b+c)^3;VT \geq \frac{1}{9}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})$
mà ta lại có $\sum \frac{a}{a+b}= \frac{a^2}{a^2+ab} \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \frac{3}{2}$
- Riann levil yêu thích
#9
Đã gửi 31-05-2014 - 09:46
để em xem lại
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 31-05-2014 - 09:46
#10
Đã gửi 06-08-2014 - 21:18
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Riann levil: 06-08-2014 - 21:26
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh