Chủ đề này có 9 trả lời

[songchiviuocmo2014]

Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c > 0 
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$

[megamewtwo]

Không đề bài đúng phải là$\sum \frac{a^{3}}{\left ( a+b \right )^{3}}\geq \frac{3}{8}$

CM

Ta có:$16\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}-12a^{2}+1\geq 0\Leftrightarrow \left ( \frac{2a}{a+b} -1\right )^{2}\left ( \frac{4a}{a+b} +1\right )\geq 0$

nên Đpcm $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

Ta có: $\left [ \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2} \right ]\left [ \sum \left ( a+b \right )^{2} \left ( a+c \right )^{2}\right ]\geq \left [ \sum a\left (a+c \right ) \right ]^{2}= \frac{1}{4}\left [ \sum \left ( a+b \right )^{2}\right ]^{2}$

ĐPCM: $\Leftrightarrow \left [ \sum \left ( a+b \right )^{2} \right ]^{2}\geq 3\sum \left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )^{2}$

Đặt : $\left ( a+b \right )^{2}=x;\left ( b+c \right )^{2}=y;\left ( a+c \right )^{2}=z$

BDT $\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )$

nên ta có ĐPcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 28-05-2014 - 20:24

[Kaito Kuroba]

Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c > 0 
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$

đặt $\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}=x & \\
 \frac{c}{b}=y& \\
  \frac{a}{c}=z&
\end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1$ Ta biến đổi BDT trở thành:

$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{8}$$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$$\sum \left (\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8}  \right )\geq \frac{3}{2}\sum \frac{1}{(1+x)^2}$$

Bây giờ  ta chỉ cần chứng minh rằng:

$$\sum \left (\frac{1}{1+x}  \right )^2\geq \frac{3}{4}$$

Ta có

$\sum \left (\frac{1}{1+x}  \right )^2\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{3}{4}+\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}~~~~~(DPCM)$ 

[25 minutes]

$\sum \frac{a^{3}}{\left ( a+b \right )^{3}}\geq \frac{3}{8}$

CM

Ta có$2\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}-3\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+2= \left ( \frac{a}{a+b} -1\right )^{2}\left ( \frac{2a}{a+b} +1\right )\geq 0$

nên Đpcm $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

Cái này chả liên quan gì đến nhau cả

 

Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c > 0 
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{2a^3}{(a+b)^3}+\frac{1}{8}\geqslant \frac{3a^2}{2(a+b)^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

          $ \sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Đặt $(\frac{b}{a},..)=(x,..)\Rightarrow xyz=1$

BDT trở thành $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Sử dụng đánh giá cơ bản sau

           $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{z}{1+z}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c>0$

[megamewtwo]

Cái này chả liên quan gì đến nhau cả

 

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{2a^3}{(a+b)^3}+\frac{1}{8}\geqslant \frac{3a^2}{2(a+b)^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

          $ \sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Đặt $(\frac{b}{a},..)=(x,..)\Rightarrow xyz=1$

BDT trở thành $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Sử dụng đánh giá cơ bản sau

           $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{z}{1+z}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c>0$

không biết nhưng mình thấy hợp lý mà

$2\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}\geq 3\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}-6$

nên mình nghĩ rằng ĐPCM $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

[25 minutes]

không biết nhưng mình thấy hợp lý mà

$2\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}\geq 3\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}-6$

Đẳng thức xảy ra khi nào thế ?

[hoanganhhaha]

em làm như sau $a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{9} (a+b+c)^3;VT \geq \frac{1}{9}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})$
mà ta lại có $\sum \frac{a}{a+b}= \frac{a^2}{a^2+ab} \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \frac{3}{2}$

[25 minutes]

 $\frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức này chứng minh như thế nào vậy ?

[hoanganhhaha]

để em xem lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 31-05-2014 - 09:46

[Riann levil]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Riann levil: 06-08-2014 - 21:26