Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-05-2014 - 17:28

NGÀY THI THỨ NHẤT 10/05/2014
 
Câu 1
Cho đường tròn $k$ và các điểm $A,B$ trên đường tròn và không phải là hai điểm xuyên tâm đối. Trên cung $AB$ nhỏ, lấy điểm $C$ bất kì. Gọi $D$ và $E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $C$ lên dây cung $AB$ và tiếp tuyến của $k$ tại $A,B$. Chứng minh $CD= \sqrt {CE \cdot CF}$
 
Câu 2
Cho $a ,b$ và $c$ là các số thực phân biệt.
a) Tìm giá trị của
$$\frac{1+ab }{a-b}\cdot\frac{1+bc }{b-c}+\frac{1+bc }{b-c}\cdot\frac{1+ca }{c-a}+\frac{1+ca }{c-a}\cdot\frac{1+ab}{a-b}$$ 
 
b) Tìm giá trị của
$$ \frac{1-ab }{a-b}\cdot\frac{1-bc }{b-c}+\frac{1-bc }{b-c}\cdot\frac{1-ca }{c-a}+\frac{1-ca }{c-a}\cdot\frac{1-ab}{a-b} $$
 
c) Chứng minh BĐT
$$\frac{1+a^2b^2 }{(a-b)^2} + \frac{1+b^2c^2 }{(b-c)^2} + \frac{1+c^2a^2 }{(c-a)^2} \geq \frac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
 
Câu 3
Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm thỏa mãn $7^x- 2 \cdot 5^y = -1$
 
NGÀY THI THỨ HAI- 11/05/2014
 
Câu 1
Cho dãy số $(a_n)$ được xác định như sau:
$$a_1=\frac{1}{2}, a_m=\frac{a_{m-1}}{2m \cdot a_{m-1} + 1}, \forall m>1$$
Xác định giá trị của $a_1+a_2+...+a_k$, với $k$ là một số nguyên dương.
 
Câu 2
Cho đa giác đều $n$ cạnh, $n \geq 6$. Có bao nhiêu tam giác bên trong đa giác này sao cho cạnh của chúng được tạo thành từ các đường chéo của đa giác và đỉnh của chúng là đỉnh của đa giác.
 

Câu 3

Cho $D$ và $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ và $B$ của tam giác $ABC, F$ là giao điểm của tia phân giác trong góc $C$ với cạnh $AB$, còn $O, I$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm tam giác $ABC$. Giả sử $\frac{CF}{AD}+ \frac{CF}{BE}=2$, Chứng minh rằng $OI = IH$

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-05-2014 - 17:48

 

 
3 Find all nonnegative integer numbers such that $7^x-2.5^y=-1$
 

Dễ dàng kiểm tra được cặp $(0,0),(2,2)$ thỏa mãn. Ta xét $x,y>2$. Viết lại phương trình :

$49(7^{x-2}-1)=50(5^{y-2}-1)$

Ta có :

$5^{y-2}\equiv 1\;(mod\;49)\Rightarrow ord_{49}(5)\mid y-2\Rightarrow 42\mid y-2$

Suy ra :

$31\mid 5^3-1\mid 5^{42}-1\mid 5^{y-2}-1$

Do vậy mà :

$7^{x-2}\equiv 1\;(mod \;31)\Rightarrow ord_{31}(7)\mid x-2\Rightarrow 30\mid x-2\Rightarrow 15\mid x-2\;\;(1)$

Thế nhưng lại dễ thấy :

$7^{x-2}\equiv 1\;(mod\;5)\Rightarrow ord_5(7)\mid x-2\Rightarrow 4\mid x-2\;\;(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$60\mid x-2\Rightarrow 7^{x-2}-1\;\vdots \;7^{60}-1\;\vdots \;125$

Mà ta lại có $125\nmid 50(5^{y-2}-1)$, đến đây ta gặp mâu thuẫn.

Đáp số của bài toán là $(0,0),(2,2)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-05-2014 - 17:50

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
  • Sở thích:$\mathfrak{Combinatorics}$ , $\mathfrak{NumberTheory}$

Đã gửi 28-05-2014 - 18:32

Cho em hỏi đây là thi HSG THCS hay THPT vậy ạ? 


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#4 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-05-2014 - 18:34

Cho em hỏi đây là thi HSG THCS hay THPT vậy ạ? 

Chọn đội tuyển quốc gia đi thi toán quốc tế bạn ạ.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#5 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-05-2014 - 18:48

Câu 2

Let $a ,b$ and $c$ be distinct real numbers.
a) Determine value of  
$$\frac{1+ab }{a-b}\cdot\frac{1+bc }{b-c}+\frac{1+bc }{b-c}\cdot\frac{1+ca }{c-a}+\frac{1+ca }{c-a}\cdot\frac{1+ab}{a-b}$$ 
 
b) Determine value of
$$ \frac{1-ab }{a-b}\cdot\frac{1-bc }{b-c}+\frac{1-bc }{b-c}\cdot\frac{1-ca }{c-a}+\frac{1-ca }{c-a}\cdot\frac{1-ab}{a-b} $$
 
c) Prove the following ineqaulity
$$\frac{1+a^2b^2 }{(a-b)^2} + \frac{1+b^2c^2 }{(b-c)^2} + \frac{1+c^2a^2 }{(c-a)^2} \geq \frac{3}{2}$$
 
When does eqaulity holds?

 

Gọi biểu thức câu a là A, câu b là B. Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được $A=1,B=-1$.

 Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq XY+YZ+ZX$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$

Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq -2(XY+YZ+ZX)$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ca}{c-a} \right )^2\geq -2B=2$$

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta được :

$$\underset{cyc}{\sum }\dfrac{(1+ab)^2+(1-ab)^2}{(a-b)^2}\geq 3\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\dfrac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}\geq \dfrac{3}{2}$$

Dấu bằng ....... :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-05-2014 - 14:55

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 28-05-2014 - 22:14

 

Gọi biểu thức câu a là A, câu b là B. Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được $A=1,B=-1$.

 Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq XY+YZ+ZX$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$

Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq -2(XY+YZ+ZX)$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2\geq -2B=2$$

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta được :

$$\underset{cyc}{\sum }\dfrac{(1+ab)^2+(1-ab)^2}{(a-b)^2}\geq 3\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\dfrac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}\geq \dfrac{3}{2}$$

Dấu bằng ....... :(

 

Sao 3 cái lại giống nhau anh nhỉ?
Hoán vị của nhau chứ -_-



#7 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-05-2014 - 23:15

Sao 3 cái lại giống nhau anh nhỉ?
Hoán vị của nhau chứ -_-

?? Ý em là sao cơ ?

 

@ Bách : À, nhầm :)) Cám ơn em. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-05-2014 - 14:55

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#8 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 29-05-2014 - 14:49

?? Ý em là sao cơ ?

 

 

Gọi biểu thức câu a là A, câu b là B. Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được $A=1,B=-1$.

 Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq XY+YZ+ZX$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$

Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq -2(XY+YZ+ZX)$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2\geq -2B=2$$

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta được :

$$\underset{cyc}{\sum }\dfrac{(1+ab)^2+(1-ab)^2}{(a-b)^2}\geq 3\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\dfrac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}\geq \dfrac{3}{2}$$

Dấu bằng ....... :(

 

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$ viết lặp đây nè :))
phải như vầy chứ nhỉ :3

$(\frac{1+ab}{a-b})^2+(\frac{1+bc}{b-c})^2+(\frac{1+ab}{a-b})^2\geq A=1$
Tương tự với cái kia

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2\geq -2B=2$$

Phải là:

$(\frac{1-ab}{a-b})^2+(\frac{1-bc}{b-c})^2+(\frac{1-ca}{c-a})\geq -2B=2$



#9 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 29-05-2014 - 15:10

 

NGÀY THI THỨ NHẤT 10/05/2014
 
Câu 1
Cho đường tròn $k$ và các điểm $A,B$ trên đường tròn và không phải là hai điểm xuyên tâm đối. Trên cung $AB$ nhỏ, lấy điểm $C$ bất kì. Gọi $D$ và $E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $C$ lên dây cung $AB$ và tiếp tuyến của $k$ tại $A,B$. Chứng minh $CD= \sqrt {CE \cdot CF}$
 
Câu 2
Cho $a ,b$ và $c$ là các số thực phân biệt.
a) Tìm giá trị của
$$\frac{1+ab }{a-b}\cdot\frac{1+bc }{b-c}+\frac{1+bc }{b-c}\cdot\frac{1+ca }{c-a}+\frac{1+ca }{c-a}\cdot\frac{1+ab}{a-b}$$ 
 
b) Tìm giá trị của
$$ \frac{1-ab }{a-b}\cdot\frac{1-bc }{b-c}+\frac{1-bc }{b-c}\cdot\frac{1-ca }{c-a}+\frac{1-ca }{c-a}\cdot\frac{1-ab}{a-b} $$
 
c) Chứng minh BĐT
$$\frac{1+a^2b^2 }{(a-b)^2} + \frac{1+b^2c^2 }{(b-c)^2} + \frac{1+c^2a^2 }{(c-a)^2} \geq \frac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
 
Câu 3
Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm thỏa mãn $7^x- 2 \cdot 5^y = -1$
 
NGÀY THI THỨ HAI- 11/05/2014
 
Câu 1
Cho dãy số $(a_n)$ được xác định như sau:
$$a_1=\frac{1}{2}, a_m=\frac{a_{m-1}}{2m \cdot a_{m-1} + 1}, \forall m>1$$
Xác định giá trị của $a_1+a_2+...+a_k$, với $k$ là một số nguyên dương.
 
Câu 2
Cho đa giác đều $n$ cạnh, $n \geq 6$. Có bao nhiêu tam giác bên trong đa giác này sao cho cạnh của chúng được tạo thành từ các đường chéo của đa giác và đỉnh của chúng là đỉnh của đa giác.
 

Câu 3

Cho $D$ và $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ và $B$ của tam giác $ABC, F$ là giao điểm của tia phân giác trong góc $C$ với cạnh $AB$, còn $O, I$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm tam giác $ABC$. Giả sử $\frac{CF}{AD}+ \frac{CF}{BE}=2$, Chứng minh rằng $OI = IH$

 

Làm luôn bài dãy số :

Thay vào ta được :$a_{1}=\frac{1}{2},a_{2}=\frac{1}{6},a_{3}=\frac{1}{12}....$

Từ đó ta sẽ CM công thức tổng quát của dãy: $a_{m}=\frac{1}{m(m+1)}$

Gỉa sử bài toán đung đến $m=n= > a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

Ta CM đúng đến $m=n+1= > a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

Ta có:$a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2(n+1).a{_{n}}+1}=\frac{\frac{1}{n(n+1)}}{2(n+1).\frac{1}{n(n+1)}+1}=\frac{\frac{1}{(n+1)}}{\frac{n^2+3n+2}{n(n+1)}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$(ĐPCM)

Vậy bài toán đúng với $m=n+1$

Thay vào $= > a_{1}+a_{2}+...+a_{k}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}$



#10 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 16-02-2020 - 00:55

hay ccc






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh