Chủ đề này có 8 trả lời

[E. Galois]

NGÀY THI THỨ NHẤT 10/05/2014

 

Câu 1

Cho đường tròn $k$ và các điểm $A,B$ trên đường tròn và không phải là hai điểm xuyên tâm đối. Trên cung $AB$ nhỏ, lấy điểm $C$ bất kì. Gọi $D$ và $E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $C$ lên dây cung $AB$ và tiếp tuyến của $k$ tại $A,B$. Chứng minh $CD= \sqrt {CE \cdot CF}$

 

Câu 2

Cho $a ,b$ và $c$ là các số thực phân biệt.

a) Tìm giá trị của

$$\frac{1+ab }{a-b}\cdot\frac{1+bc }{b-c}+\frac{1+bc }{b-c}\cdot\frac{1+ca }{c-a}+\frac{1+ca }{c-a}\cdot\frac{1+ab}{a-b}$$ 

 

b) Tìm giá trị của

$$ \frac{1-ab }{a-b}\cdot\frac{1-bc }{b-c}+\frac{1-bc }{b-c}\cdot\frac{1-ca }{c-a}+\frac{1-ca }{c-a}\cdot\frac{1-ab}{a-b} $$

 

c) Chứng minh BĐT

$$\frac{1+a^2b^2 }{(a-b)^2} + \frac{1+b^2c^2 }{(b-c)^2} + \frac{1+c^2a^2 }{(c-a)^2} \geq \frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

Câu 3

Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm thỏa mãn $7^x- 2 \cdot 5^y = -1$

 

NGÀY THI THỨ HAI- 11/05/2014

 

Câu 1

Cho dãy số $(a_n)$ được xác định như sau:

$$a_1=\frac{1}{2}, a_m=\frac{a_{m-1}}{2m \cdot a_{m-1} + 1}, \forall m>1$$

Xác định giá trị của $a_1+a_2+...+a_k$, với $k$ là một số nguyên dương.

 

Câu 2

Cho đa giác đều $n$ cạnh, $n \geq 6$. Có bao nhiêu tam giác bên trong đa giác này sao cho cạnh của chúng được tạo thành từ các đường chéo của đa giác và đỉnh của chúng là đỉnh của đa giác.

 

Câu 3

Cho $D$ và $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ và $B$ của tam giác $ABC, F$ là giao điểm của tia phân giác trong góc $C$ với cạnh $AB$, còn $O, I$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm tam giác $ABC$. Giả sử $\frac{CF}{AD}+ \frac{CF}{BE}=2$, Chứng minh rằng $OI = IH$

[Juliel]

 

 

3 Find all nonnegative integer numbers such that $7^x-2.5^y=-1$

 

Dễ dàng kiểm tra được cặp $(0,0),(2,2)$ thỏa mãn. Ta xét $x,y>2$. Viết lại phương trình :

$49(7^{x-2}-1)=50(5^{y-2}-1)$

Ta có :

$5^{y-2}\equiv 1\;(mod\;49)\Rightarrow ord_{49}(5)\mid y-2\Rightarrow 42\mid y-2$

Suy ra :

$31\mid 5^3-1\mid 5^{42}-1\mid 5^{y-2}-1$

Do vậy mà :

$7^{x-2}\equiv 1\;(mod \;31)\Rightarrow ord_{31}(7)\mid x-2\Rightarrow 30\mid x-2\Rightarrow 15\mid x-2\;\;(1)$

Thế nhưng lại dễ thấy :

$7^{x-2}\equiv 1\;(mod\;5)\Rightarrow ord_5(7)\mid x-2\Rightarrow 4\mid x-2\;\;(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$60\mid x-2\Rightarrow 7^{x-2}-1\;\vdots \;7^{60}-1\;\vdots \;125$

Mà ta lại có $125\nmid 50(5^{y-2}-1)$, đến đây ta gặp mâu thuẫn.

Đáp số của bài toán là $(0,0),(2,2)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-05-2014 - 17:50

[HoangHungChelski]

Cho em hỏi đây là thi HSG THCS hay THPT vậy ạ? 

[Juliel]

Cho em hỏi đây là thi HSG THCS hay THPT vậy ạ? 

Chọn đội tuyển quốc gia đi thi toán quốc tế bạn ạ.

[Juliel]

Câu 2

Let $a ,b$ and $c$ be distinct real numbers.

a) Determine value of  

$$\frac{1+ab }{a-b}\cdot\frac{1+bc }{b-c}+\frac{1+bc }{b-c}\cdot\frac{1+ca }{c-a}+\frac{1+ca }{c-a}\cdot\frac{1+ab}{a-b}$$ 

 

b) Determine value of

$$ \frac{1-ab }{a-b}\cdot\frac{1-bc }{b-c}+\frac{1-bc }{b-c}\cdot\frac{1-ca }{c-a}+\frac{1-ca }{c-a}\cdot\frac{1-ab}{a-b} $$

 

c) Prove the following ineqaulity

$$\frac{1+a^2b^2 }{(a-b)^2} + \frac{1+b^2c^2 }{(b-c)^2} + \frac{1+c^2a^2 }{(c-a)^2} \geq \frac{3}{2}$$

 

When does eqaulity holds?

 

Gọi biểu thức câu a là A, câu b là B. Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được $A=1,B=-1$.

 Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq XY+YZ+ZX$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$

Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq -2(XY+YZ+ZX)$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ca}{c-a} \right )^2\geq -2B=2$$

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta được :

$$\underset{cyc}{\sum }\dfrac{(1+ab)^2+(1-ab)^2}{(a-b)^2}\geq 3\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\dfrac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}\geq \dfrac{3}{2}$$

Dấu bằng .......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-05-2014 - 14:55

[nghiemthanhbach]

 

Gọi biểu thức câu a là A, câu b là B. Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được $A=1,B=-1$.

 Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq XY+YZ+ZX$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$

Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq -2(XY+YZ+ZX)$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2\geq -2B=2$$

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta được :

$$\underset{cyc}{\sum }\dfrac{(1+ab)^2+(1-ab)^2}{(a-b)^2}\geq 3\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\dfrac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}\geq \dfrac{3}{2}$$

Dấu bằng .......

 

Sao 3 cái lại giống nhau anh nhỉ?
Hoán vị của nhau chứ

[Juliel]

Sao 3 cái lại giống nhau anh nhỉ?
Hoán vị của nhau chứ

?? Ý em là sao cơ ?

 

@ Bách : À, nhầm Cám ơn em. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-05-2014 - 14:55

[nghiemthanhbach]

?? Ý em là sao cơ ?

 

 

Gọi biểu thức câu a là A, câu b là B. Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được $A=1,B=-1$.

 Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq XY+YZ+ZX$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$

Sử dụng bất đẳng thức $X^2+Y^2+Z^2\geq -2(XY+YZ+ZX)$ ta được :

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2\geq -2B=2$$

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta được :

$$\underset{cyc}{\sum }\dfrac{(1+ab)^2+(1-ab)^2}{(a-b)^2}\geq 3\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\dfrac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}\geq \dfrac{3}{2}$$

Dấu bằng .......

 

$$\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1+ab}{a-b} \right )^2\geq A=1$$ viết lặp đây nè
phải như vầy chứ nhỉ :3

$(\frac{1+ab}{a-b})^2+(\frac{1+bc}{b-c})^2+(\frac{1+ab}{a-b})^2\geq A=1$
Tương tự với cái kia

$$\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2+\left ( \dfrac{1-ab}{a-b} \right )^2\geq -2B=2$$

Phải là:

$(\frac{1-ab}{a-b})^2+(\frac{1-bc}{b-c})^2+(\frac{1-ca}{c-a})\geq -2B=2$

[Hoang Tung 126]

 

NGÀY THI THỨ NHẤT 10/05/2014

 

Câu 1

Cho đường tròn $k$ và các điểm $A,B$ trên đường tròn và không phải là hai điểm xuyên tâm đối. Trên cung $AB$ nhỏ, lấy điểm $C$ bất kì. Gọi $D$ và $E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $C$ lên dây cung $AB$ và tiếp tuyến của $k$ tại $A,B$. Chứng minh $CD= \sqrt {CE \cdot CF}$

 

Câu 2

Cho $a ,b$ và $c$ là các số thực phân biệt.

a) Tìm giá trị của

$$\frac{1+ab }{a-b}\cdot\frac{1+bc }{b-c}+\frac{1+bc }{b-c}\cdot\frac{1+ca }{c-a}+\frac{1+ca }{c-a}\cdot\frac{1+ab}{a-b}$$ 

 

b) Tìm giá trị của

$$ \frac{1-ab }{a-b}\cdot\frac{1-bc }{b-c}+\frac{1-bc }{b-c}\cdot\frac{1-ca }{c-a}+\frac{1-ca }{c-a}\cdot\frac{1-ab}{a-b} $$

 

c) Chứng minh BĐT

$$\frac{1+a^2b^2 }{(a-b)^2} + \frac{1+b^2c^2 }{(b-c)^2} + \frac{1+c^2a^2 }{(c-a)^2} \geq \frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

Câu 3

Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm thỏa mãn $7^x- 2 \cdot 5^y = -1$

 

NGÀY THI THỨ HAI- 11/05/2014

 

Câu 1

Cho dãy số $(a_n)$ được xác định như sau:

$$a_1=\frac{1}{2}, a_m=\frac{a_{m-1}}{2m \cdot a_{m-1} + 1}, \forall m>1$$

Xác định giá trị của $a_1+a_2+...+a_k$, với $k$ là một số nguyên dương.

 

Câu 2

Cho đa giác đều $n$ cạnh, $n \geq 6$. Có bao nhiêu tam giác bên trong đa giác này sao cho cạnh của chúng được tạo thành từ các đường chéo của đa giác và đỉnh của chúng là đỉnh của đa giác.

 

Câu 3

Cho $D$ và $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ và $B$ của tam giác $ABC, F$ là giao điểm của tia phân giác trong góc $C$ với cạnh $AB$, còn $O, I$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm tam giác $ABC$. Giả sử $\frac{CF}{AD}+ \frac{CF}{BE}=2$, Chứng minh rằng $OI = IH$

 

Làm luôn bài dãy số :

Thay vào ta được :$a_{1}=\frac{1}{2},a_{2}=\frac{1}{6},a_{3}=\frac{1}{12}....$

Từ đó ta sẽ CM công thức tổng quát của dãy: $a_{m}=\frac{1}{m(m+1)}$

Gỉa sử bài toán đung đến $m=n= > a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

Ta CM đúng đến $m=n+1= > a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

Ta có:$a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2(n+1).a{_{n}}+1}=\frac{\frac{1}{n(n+1)}}{2(n+1).\frac{1}{n(n+1)}+1}=\frac{\frac{1}{(n+1)}}{\frac{n^2+3n+2}{n(n+1)}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$(ĐPCM)

Vậy bài toán đúng với $m=n+1$

Thay vào $= > a_{1}+a_{2}+...+a_{k}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}$