Moldova TST 2014
#1
Đã gửi 28-05-2014 - 21:43
- LNH, luuvanthai, Juliel và 2 người khác yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#2
Đã gửi 28-05-2014 - 23:19
Câu 2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$E(a,b,c) = \sum \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)} . $$
Bài này từng có trên THTT.
Ta đổi biến $\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z} \right )$ với $x,y,z>0$ và $xyz=1$.
BĐT cần chứng minh trở thành :
$\dfrac{1+5x^3}{\dfrac{y+z}{yz}}+\dfrac{1+5y^3}{\dfrac{z+x}{zx}}+\dfrac{1+5z^3}{\dfrac{x+y}{xy}}\geq 9\Leftrightarrow \dfrac{yz+5x^2}{y+z}+\dfrac{zx+5y^2}{z+x}+\dfrac{xy+5z^2}{x+y}\geq 9$
Thật vậy, ta có :
$\dfrac{yz+5x^2}{y+z}+\dfrac{zx+5y^2}{z+x}+\dfrac{xy+5z^2}{x+y}=\left ( \dfrac{1}{xy+yz}+\dfrac{1}{yz+zx}+\dfrac{1}{zx+xy} \right )+\dfrac{5x^2}{y+z}+\dfrac{5y^2}{z+x}+\dfrac{5z^2}{x+y}\geq 9$
Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn là :
$\dfrac{9}{2(xy+yz+zx)}+\dfrac{5(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\geq 9$
Và ta chỉ cần chỉ ra :
$\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{5(x+y+z)}{2}\geq 9$
Điều này hiển nhiên đúng theo $lAM-GM$ :
$\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{5(x+y+z)}{2}=\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{3(x+y+z)}{2}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}+\dfrac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=9$
- 25 minutes, LNH và luuvanthai thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#3
Đã gửi 29-05-2014 - 07:49
Câu 2 (ngày 1)
Bằng phương pháp cân bằng hệ số của phương trình tiếp tuyến ta có được:
$3\sqrt{1+2a^{2}}\geq \frac{6\sqrt{11}}{11}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{11}\Leftrightarrow (3a-1)^{2}\geq 0$
$2\sqrt{40+9b^{2}}\geq \frac{6\sqrt{11}}{11}(b-\frac{2}{3})+4\sqrt{11}$$\Leftrightarrow (2b-3)^{2}\geq 0$
Cộng 2 vế lại có $E(a,b)\geq 5\sqrt{11}$
Dấu = xảy ra khi $a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{3}$
C2:cũng xó thể thế a theo b rồi khảo sát
- 25 minutes, LNH và Juliel thích
#4
Đã gửi 29-05-2014 - 09:54
Day 1 - 03 March 2014Câu 3. Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn có $AD$ là tia phân giác trong $\widehat{BAC}$ với $D\in BC$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ tới $AB$ và $AC$. Giả sử $BF\cap CE=K$ và $\odot AKE\cap BF=L$ chứng minh rằng $DL\perp BF$.
Trước hết ta chứng minh 1 bổ đề*:Cho tam giác ABC có AD là phân giác góc A.E,F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC.
Gọi K là giao của BF và CE.CMR $AK$ vuông với BC
Để có điều này ta lại cần phải dùng 1 bổ đề **nữa là :cho tam giác ABC có AM là đường cao,K di chuyển trên đoạn AM,E,F lần lượt là giao của CK với AB,BK với AC.Khi đó MA là phân giác của EMF
CM**:(dùng hàng điểm điều hòa)Bỏ qua trường hợp tầm thường tam giác cân tại A,xét AB>AC
gọi $I$ là giao của EF và BC,H là giao của AM và EF
Ta có $(I,M,B,C)=-1\Rightarrow A(I,M,B,C)\Rightarrow M(I,H,E,F)=-1$
mà AMI=90 nên MH và MI lần lượt là phân giác trong và ngoài của EMH
Ta cm bổ đề*Phát biểu lại bài toán dưới dạng Cho tam giác ABC có AD là phân giác ,AM là đường cao ,F là hình chiếu của D lên AC,BF cắt AM tại K,CK cắt AB tại E.CMR DEvuông AB
Ta có EMA=FMA$\Rightarrow EMB=FMC$ mà FMC=FMD=DAC(do tg AMDF nt) nên DAC=DAB=EMB$\Rightarrow AEMF$ nội tiếp suy ra AMD=DEA=90(đpcm)
Trở lại bài toán :Để cm DL vuông BF chỉ cần cm BELD nội tiếp $\Leftrightarrow BDE=BLE$(luôn đúng do $BLE=EAK=90-B$)
PS làm xong bài này thấy la lá Bài 4 VNTST
- 25 minutes, LNH và Juliel thích
#5
Đã gửi 29-05-2014 - 10:30
Câu 2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$E(a,b,c) = \sum \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)} . $$
Cách khác :
Ta có $E=\sum \frac{1}{a+b}+5\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=E_1+E_2$
Ta có $(ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)\Rightarrow a+b+c\leqslant \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}$
Áp dụng AM-GM và Cauchy-Schwarzt ta có
$E_1\geqslant \frac{9}{2(a+b+c)}\geqslant \frac{27}{2(ab+bc+ca)^2}$
Và $E_2=5\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=5\sum \frac{(\frac{1}{a})^2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\geqslant \frac{5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{2}=\frac{5(ab+bc+ca)}{2}$
Khi đó $E\geqslant \frac{27}{2(ab+bc+ca)^2}+\frac{5(ab+bc+ca)}{2}\geqslant 9$, do $ab+bc+ca \geqslant 3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
- LNH, luuvanthai, Juliel và 1 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 29-05-2014 - 12:20
$\sqrt{x+y}+2=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow 2+2\sqrt{x+y}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow 8\sqrt{x+y}=xy-4(x+y)-4\Rightarrow 64(x+y)=x^{2}y^{2}+16(x+y)^{2}+16-8xy(x+y)-8xy+32(x+y)$
$\Leftrightarrow (y-4)^{2}x^{2}-8x(y^{2}-3y+4)+16(y-1)^{2}=0$
Ta cần tìm y sao cho $\bigtriangleup '=(4(y^{2}-3y+4))^{2}-16(y-1)^{2}(y-4)^{2}$$=64y(y-2)^{2}$ là số chính phương
$\Leftrightarrow y$ là SCP
Tương tự x cũng là SCP
Đặt $x=a^{2},y=b^{2}$ (a,b nguyên không âm).Khi đó
$2+2\sqrt{a^{2}+b^{2}}=ab\Leftrightarrow (b^{2}-4)a^{2}-4ab+4-4b^{2}=0$
$\bigtriangleup '=(2b)^{2}-(4b^{2}-4)(b^{2}-4)=4(b^{2}-2)^{2}$
$\Rightarrow a=\frac{2b+2(b^{2}-2)}{b^{2}-4}hoặc a=\frac{2b-2(b^{2}-2)}{b^{2}-4}$ là số nguyên không âm
Ta cần tìm b sao cho t=$\frac{2b+4}{b^{2}-4}$ nguyên không âm
Xét t=0,1,2 đều không có b thỏa mãn
Xét t>2 thì $2b+2b^{2}-4\geq 3b^{2}-12\Leftrightarrow (b-1)^{2}\leq 9\Rightarrow b\leq 4$
Dễ thấy b=3,4 đều thỏa mãn
b=3thì a=4;b=4 thì a=3
Vậy (x,y)=(9,16),(16,9)
- 25 minutes và LNH thích
#7
Đã gửi 29-05-2014 - 15:37
- LNH và gatoanhoc1998 thích
#8
Đã gửi 06-06-2014 - 09:59
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$
$\Rightarrow x+y\leq 24$
lập bảng thử các số chính phương ta có:
(x,y)=(9;16) hoặc (x,y)=(16;9)
sau đó KL nghiệm
- chardhdmovies yêu thích
#9
Đã gửi 06-06-2014 - 10:24
câu 2 ngày 1
đăt b=1-a (0<a<1) ta có E=$3\sqrt{1+2a^{2}}+2\sqrt{49+9a^{2}-18a}$
gọi f là hàm số theo x có dạng
f(x)=$3\sqrt{1+2x^{2}}+2\sqrt{49+9x^{2}-18x}$
giải f'=0 $\Leftrightarrow$ x=1/3 hoặc x=3
Lập bảng biến thiên ta có: Minf=f(1/3)=5$\sqrt{11}$
KL:minE=5$\sqrt{11}$ tại a=1/3 và b=2/3
#10
Đã gửi 06-06-2014 - 16:02
2/d2(cách khác)
$\frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)} \geq \frac{3a+3}{a^{3}(b+c)}= \frac{3bc+3(bc)^{2}}{ab+ca}= 3\frac{bc}{ab+ca}+3\frac{(bc)^{2}}{ab+ac}$
Áp dụng bdt Nesbit và CBS có:
$E\geq 9$
Kl: MinE=9 khi a=b=c=1
#11
Đã gửi 06-06-2014 - 16:20
thay x=0 ta có : f(0)=0
thay x=1 có f(f(y)+y)=2y
do f=2x là song ánh nên f(f(y)+y) là song ánh ( hay f(y) là song ánh)
bằng pp thế kết hợp f là song ánh ta tìm được hàm số thoả mãn f(x)=x
thử lại thoả
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh