Chủ đề này có 1 trả lời

[chanlonggiangthe]

Cho tam giác $ABC$ Trên các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm $A',B'$ và $C'$. Gọi $S_{a},S_{b},S_{c}$ và $S$ tương ứng là diện tích của các tam giác $AB'C',CB'A',CA'B'$ và $ABC$ . Chứng minh bất đẳng thức 

$\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}\leqslant \frac{3}{2}\sqrt{S}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

 

 

 

[Forgive Yourself]

 

Cho tam giác $ABC$ Trên các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm $A',B'$ và $C'$. Gọi $S_{a},S_{b},S_{c}$ và $S$ tương ứng là diện tích của các tam giác $AB'C',CB'A',CA'B'$ và $ABC$ . Chứng minh bất đẳng thức 

$\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}\leqslant \frac{3}{2}\sqrt{S}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

 

 

 

Ta có công thức diện tích $2S_a=AC'.AB'sinA$ ; $2S=AB.AC.sinA$

 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{S_a}{S}}=\sqrt{\frac{AC'.AB'}{AB.AC}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AC'}{AB}+\frac{AB'}{AC} \right )$

 

Tương tự như thế ta sẽ có:

 

$\frac{VT}{\sqrt{S}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AC'}{AB}+\frac{BC'}{BA}+\frac{BA'}{BC}+\frac{CA'}{CB}+\frac{CB'}{CA}+\frac{AB'}{AC} \right )=\frac{3}{2}$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{AC'}{AB}=\frac{AB'}{AC}\\ \frac{BA'}{BC}=\frac{BC'}{BA}\\ \frac{CB'}{CA}=\frac{CA'}{CB} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C'B'//BC\\ A'C'//CA\\ B'A'//AB \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow A',B',C'$ là trung điểm của $BC,CA,AB$