Chủ đề này có 7 trả lời

[yeutoan2604]

Cho x,y,z>0 $x+y+z\leq \frac{3}{2}$ Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}$

[huythcsminhtan]

áp dụng liên hoàn bđt $Mincopxki , Cauchy -Schwarz$ và bđt $AM-GM$ ta có

 

$\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \ge \sqrt{(\sum x)^2 +(\sum \frac{1}{x})^2} \ge  \sqrt{(\sum x)^2 +\sum \frac{81}{(\sum x )^2}} $

 

$= \sqrt{(\sum x)^2 + \frac{81}{16(\sum x)^2}+ \frac{1215}{16(\sum x)^2} }$

 

Đến đây dễ rồi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 29-05-2014 - 10:59

[yeutoan2604]

áp dụng liên hoàn bđt $Mincopxki , Cauchy -Schwarz$ và bđt $AM-GM$ ta có

 

$\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \ge \sqrt{(\sum x)^2 +(\sum \frac{1}{x})^2} \ge  \sqrt{(\sum x)^2 +\sum \frac{81}{(\sum x )^2}} $

 

$\= \sqrt{(\sum x)^2 + \frac{81}{16(\sum x)^2}+ \frac{1215}{16(\sum x)^2} }$

 

Đến đây dễ rồi 

Cách của bạn cũng hay nhưng mà cách mình là cauchy điểm rơi nghĩ mãi mới ra

[25 minutes]

Cho x,y,z>0 $x+y+z\leq \frac{3}{2}$ Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}$

Áp dụng bất đẳng thức Mincoski ta có
$P\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{t+\frac{81}{t}}$
Với $t=(x+y+z)^2\leqslant \frac{9}{4}$
Khi đó $P\geqslant \sqrt{t+\frac{81}{t}}=\sqrt{(t+\frac{81}{16t})+\frac{1215}{16t}}\geqslant \sqrt{\frac{9}{2}+\frac{135}{4}}=\frac{\sqrt{153}}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $2x=2y=2z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 29-05-2014 - 11:55

[buitudong1998]

Cho x,y,z>0 $x+y+z\leq \frac{3}{2}$ Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}$

Cách khác (chày cối):

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{16x^{2}}+...+\frac{1}{16x^{2}}}\geqslant \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}}=\sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}.\sqrt{17}$

Vậy cần chứng minh: 

$\sum \sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy: 

$\sum \sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}\geqslant 3\sqrt[102]{\frac{1}{16^{48}(xyz)^{30}}}\geqslant 3\sqrt[102]{\frac{1}{2^{192}.\frac{1}{2^{90}}}}=\frac{3}{2}$ (do $xyz\leqslant \frac{1}{8}$) $(DPCM)$

[Viet Hoang 99]

Áp dụng bất đẳng thức Mincoski ta có 

      $P\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{t+\frac{81}{t}}$

Với $t=(x+y+z)^2\geqslant \frac{9}{4}$

Khi đó $P\geqslant \sqrt{t+\frac{81}{t}}=\sqrt{(t+\frac{81}{16t})+\frac{1215}{16t}}\geqslant \sqrt{\frac{9}{2}+\frac{135}{4}}=\frac{\sqrt{153}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $2x=2y=2z=1$

Hehe $t\leq \frac{9}{4}$ anh ạ

[Ham học toán hơn]

Cách khác (chày cối):

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{16x^{2}}+...+\frac{1}{16x^{2}}}\geqslant \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}}=\sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}.\sqrt{17}$

Vậy cần chứng minh: 

$\sum \sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy: 

$\sum \sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}\geqslant 3\sqrt[102]{\frac{1}{16^{48}(xyz)^{30}}}\geqslant 3\sqrt[102]{\frac{1}{2^{192}.\frac{1}{2^{90}}}}=\frac{3}{2}$ (do $xyz\leqslant \frac{1}{8}$) $(DPCM)$

Cách này phải là điểm rơi của Co-si không anh ?

[Viet Hoang 99]

Cách này phải là điểm rơi của Co-si không anh ?

$x=y=z=\frac{1}{2}$
$x^2=\frac{1}{\alpha x^2}\Leftrightarrow \alpha x^4=1\Leftrightarrow \alpha=16$