Chủ đề này có 6 trả lời

[vua thac mac]

:lol:chào mọi người mình là thành viên mới gia nhập diễn đàn, mình xin gửi một TOPIC dành cho các bạn chuẩn bị th vào THPT, mong nhận được sự giúp đỡ và ủng hộ của mọi người  .
  bài tập "chốt"  là gì? Trong các đề tuyển sinh vào trung học phổ thông thường có  một loại bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi mà người ta thường gọi là bài tập "chốt". Muốn làm được loại

bài tập "chốt" này, đòi hỏi các bạn học sinh không những nắm vững các kiến thức cơ bản mà đòi hỏi phải tìm hiểu thêm các kiến thức nâng cao khác.

 

 Mình xin khởi xướng bài tập đầu tiên (các câu "chốt" có màu đỏ)

 

 $1/$ cho tam giác đều ABC có đường cao AH, N là điểm bất kì $\in BC$ ,$(N\neq B,C)$. Từ N, vẽ $NE\dashv AB,NE\dashv AC, (E\in AB,F\in AC)$.

a,C/M: A,E,N,H,F cùng thuộc một đường tròn.

b,gọi O là trung điểm của AN, chứng minh $\Delta OEH,\Delta OFH$ là tam giác đều.

c,tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn EF khi N chạy trên BC, biết đọ dài cạnh của tam giác ABC là a.

 

$2/$ cho các số thực x,y thoã mãn $x +y =2$

tìm GTNN của $Q=x^{3}+y^{3}+y^{2}+x^{2}$

Như mình đã nói các bài tập thuộc đề không chuyên nên khá dễ.

 

Viet Hoang 99:

Hình như bạn không đọc được lời mình nói

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-05-2014 - 19:40

[Viet Hoang 99]

:lol:chào mọi người mình là thành viên mới gia nhập diễn đàn, mình xin gửi một TOPIC dành cho các bạn chuẩn bị th vào THPT, mong nhận được sự giúp đỡ và ủng hộ của mọi người  .
  bài tập "chốt"  là gì? Trong các đề tuyển sinh vào trung học phổ thông thường có  một loại bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi mà người ta thường gọi là bài tập "chốt". Muốn làm được loại

bài tập "chốt" này, đòi hỏi các bạn học sinh không những nắm vững các kiến thức cơ bản mà đòi hỏi phải tìm hiểu thêm các kiến thức nâng cao khác.

 

 Mình xin khởi xướng bài tập đầu tiên (các câu "chốt" có màu đỏ)

 

   cho tam giác đều ABC có đường cao AH, N là điểm bất kì $\in BC$ ,$(N\neq B,C)$. Từ N, vẽ $NE\dashv AB,NE\dashv AC, (E\in AB,F\in AC)$.

a,C/M: A,E,N,H,F cùng thuộc một đường tròn.

b,gọi O là trung điểm của AN, chứng minh $\Delta OEH,\Delta OFH$ là tam giác đều.

c,tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn È khi N chạy trên BC, biết đọ dài cạnh của tam giác ABC là a.

 

cho các số thực x,y thoã mãn $x +y =2$

tìm GTNN của $Q=x^{3}+y^{3}+y^{2}+x^{2}$

Như mình đã nói các bài tập thuộc đề không chuyên nên khá dễ.

Nên đặt là Bài $1$; Bài $2$, chứ đặt  giống nhau thì người ta trả lời thế nào .

Fix đi
Bài 2:

$Q=x^3+y^3+x^2+y^2=(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)^2-2xy=8+4-6xy-2xy=12-8xy=12-8x(2-x)=12-16x+8x^2=8(x-1)^2+4\geq 4$

Dấu = có khi: $x=y=1$

[HungNT]

Bài 1

c. OH cắt EF tại I$\Rightarrow EF\bot OH$ tại I

Ta có $EF= 2EI=2\sqrt{3}.IH=\sqrt{3.}OH=\frac{\sqrt{3}}{2}AN$

Lại có $AN\geq AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow EF\geq \frac{3a}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $N\equiv H$

[vua thac mac]

  mình xin cảm ơn sự giúp đỡ của mọi người về Topic, mời mọi người cùng thử sức với BT tiếp theo.

 

$3/$

Cho a,b,c $\geqslant 0$; a+ b+ c= 1.Tìm GTLN của $\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-05-2014 - 19:40

[huyhoangfan]

  mình xin cảm ơn sự giúp đỡ của mọi người về Topic, mời mọi người cùng thử sức với BT tiếp theo.

 

Cho a,b,c $\geqslant 0$; a+ b+ c= 1.Tìm GTLN của $\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a}.$

Bài này cũng dễ thôi bạn ạ!

ta áp dụng BĐT bunhiacopxki :

$$$\left ( \sqrt{a+b} \right.1 +\sqrt{b+c}.1+ \sqrt{c+a}.1)^{2}\leq (1+1+1)\left ( \sqrt{a+b} \right^{2} + \sqrt{b+c}^{2} +\sqrt{a+c}^{2})$

=> $\left ( \sqrt{a+b} \right+ \sqrt{b+c}+ \sqrt{c+a} )\leq 3(2a+2b+2c)= 6$ vì a+ b+ c =1

=>$\sqrt{a+b}+ \sqrt{b+c} +\sqrt{c+a} \leq 6$

 Dấu = xảy ra khi a = b = c $= \frac{1}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 31-05-2014 - 18:50

[Viet Hoang 99]

  mình xin cảm ơn sự giúp đỡ của mọi người về Topic, mời mọi người cùng thử sức với BT tiếp theo.

 

$3/$

Cho a,b,c $\geqslant 0$; a+ b+ c= 1.Tìm GTLN của $\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a}.$

$\sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{3(a+b+b+c+c+a)}=\sqrt{6}$

Theo BĐT BCS

Dấu = có khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$

[lehoangphuc1820]

  mình xin cảm ơn sự giúp đỡ của mọi người về Topic, mời mọi người cùng thử sức với BT tiếp theo.

 

$3/$

Cho a,b,c $\geqslant 0$; a+ b+ c= 1.Tìm GTLN của $\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a}.$

 

$\sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{3(a+b+b+c+c+a)}=\sqrt{6}$

Theo BĐT BCS

Dấu = có khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$

Một cách khác sử dụng $AM-GM$

Đặt $A=\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a}\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{3}}A=\sqrt{(a+b)\frac{2}{3}} + \sqrt{(b+c)\frac{2}{3}} + \sqrt{(c+a)\frac{2}{3}}$

$\sqrt{\frac{2}{3}}A\leq \frac{\frac{2}{3}(a+b)}{2}+\frac{\frac{2}{3}(b+c)}{2}+\frac{\frac{2}{3}(a+c)}{2}=2\Rightarrow A\leq \sqrt{6}$

Dấu bằng khi $a=b=c=\frac{1}{3}$