Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015 THCS Lâm Thao


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

TrườngTHCS Lâm Thao

Đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Câu 1:

a) Tìm các số hữu tỉ $n$ để $n^{2}-n+13$ là số chính phương

b) Tìm nghiệm nguyên của pt $x^{2}+xy+y^{2}=2x+y$

Câu 2:

a) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}=\frac{3}{2}$

Chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

b) Cho a là nghiệm của phương trình $x^{2}-6x+1=0$  . Tính $a^{5}+\frac{1}{a^{5}}$

Câu 3:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}=14x-3x^{2}+8$

b) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ x+y=5-x^{2} \end{matrix}\right.$

Câu 4:Cho đường tròn $(O;R)$ có dây cung $AB=R\sqrt{2}$ cố định. Một điểm $P$ chạy trên đoạn $AB$. Dựng đường tròn $(C;R_1)$ đi qua $P$ và tiếp xúc $(O)$ tại $A$, đường tròn $(D;R_2)$ đi qua $P$ và tiếp xúc $(O)$ tại $B$. Hai đường tròn $(C)$ và $(D)$ cắt nhau tại điểm thứ hai $M$

a) Khi $P$ không trùng với trung điểm $AB$, chứng minh $OM$ song song với $CD$ và $O, M, C, D$ cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh khi $P$ chạy trên $AB$ thì đường thẳng $MP$ luôn đi qua điểm cố định $N$

c) Tìm vị trí $P$ để $PM.PN$ đạt giá trị lớn nhất? Diện tích tam giác $ABM$ lớn nhất

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $2ab+6bc+2ca=7abc$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{4c+a}+\frac{4bc}{b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 30-05-2014 - 19:59

_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#2
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

 

Câu 1:

b) Tìm nghiệm nguyên của pt $x^{2}+xy+y^{2}=2x+y$

 

 

Bài 1. b. PT tuơng đương: $x^2+(y-2)x+y^2-y=0 \Delta =-3.y^2+4\geq 0 \Leftrightarrow y^2\leq \frac{4}{3}$

Do đó: y=-1;0;1 rồi thế vào là được!


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

TrườngTHCS Lâm Thao

Đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

 

Câu 3:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}=14x-3x^{2}+8$

 

$3)$

$a/$

ĐKXĐ : $-\frac{1}{3}\leq x\leq 6$
$PT \Leftrightarrow \sqrt{3x+1}-4-(\sqrt{6-x}-1)+3x^{2}-14x-5 =0$
$\Leftrightarrow \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4} +\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1} + (x-5)(3x+1)= 0$
$x-5=0 \Leftrightarrow x=5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 29-05-2014 - 22:05


#4
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 1: a) $n^{2}-n+13=m^{2}\Rightarrow 4n^{2}-4n+52=4m^{2}\Leftrightarrow (2n-1)^{2}-(2m)^{2}=-51$

$\Rightarrow (2n-1-2m)(2n-1+2m)=-51$. Đến đây bạn giải tiếp nhé



#5
HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết

http://diendantoanho...-học-2013-2014/
Câu 5 ở trên, hình như bạn đánh sai đề  ^_^
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 29-05-2014 - 23:29

$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#6
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 5: Bạn ghi gt sai rồi. Mà 2ab + 6bc + 2ca = 7abc. Từ gt $\Rightarrow \frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7$.

Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\Rightarrow P=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}$

$=\left (\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y} \right )^{2}+\left (\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z} \right )^{2}+\left (\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z} \right )^{2}+17\geq 17$



#7
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Câu 4:Cho đường tròn (O:R) có dây cung $AB=R\sqrt{2}$ cố định. Một điểm P chạy trên đoạn AB. Dựng đường tròn (C;R1) đi qua P và tiếp xúc (O) tại A; đường tròn (D;R2) đi qua P và tiếp xúc (O) tại B. Hai đường tròn ( C) và (D) cắt nhau tại điểm thứ hai M

a) Khi P không trùng với trung điểm AB, chứng minh OM song song với CD và O, M, C, D cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh khi P chạy trên AB thì đường thẳng MP luôn đi qua điểm cố định N

c) Tìm vị trí P để PM.PN đạt giá trị lớn nhất? Diện tích tam giác ABM lớn nhất

Mình làm vắn tắt nhé!

Giải:

a) Vì $(C;R_1)$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$ 

$O,A,C$ thẳng hàng

Tương tự: $O,D,B$ thẳng hàng

Ta có $AB=R\sqrt{2}$ $\Rightarrow \widehat{AOB}=90^o$

Dễ dàng chứng minh được $OCPD$ là hình chữ nhật

$\widehat{CPD}=90^o\Rightarrow \widehat{CMD}=90^o$ (tính chất đối xứng)

$\Rightarrow CMOD$ là tứ giác nội tiếp

Dễ dàng chứng minh được $OM//CD$

b) Gọi giao điểm tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$ là $N$

Ta sẽ chứng minh $M,N,P$ thẳng hàng

Ta dễ dàng chứng minh được $OANB$ là hình vuông

$\Rightarrow N,A,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$ hay $ON$

Ta có:

$\widehat{MOA}=\frac{1}{2}\widehat{MDP}$

$\widehat{MBA}=\frac{1}{2}\widehat{MDP}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm)

$\Rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{MBA}$

$\Rightarrow AMOB$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$

$\Rightarrow ANOM$ là tứ giác nội tiếp (vì $A,N,O,M$ cùng nằm trên $1$ đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{NMO}=\widehat{NAO}=90^o\Rightarrow NM\perp OM$

Mà $PM\perp OM$

$\Rightarrow M,N,P$ thẳng hàng

$\Rightarrow$ Đpcm

c) Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$PM.PN\leq (\frac{PM+PN}{2})^2= (\frac{MN}{2})^2\leq \frac{ON^2}{4}= \frac{2R^2}{4}=\frac{R^2}{2}$

$S_ABM=\frac{1}{2}AM.BM\leq \frac{1}{2}\frac{(AM+BM)^2}{4}\leq \frac{2(AM^2+BM^2)}{8}\leq \frac{AB^2}{4}= \frac{R^2}{2}$

Kết hợp cả $2$ điều trên 

$\Rightarrow (PM.PN)$ Max và $S_ABM$ Max $\Leftrightarrow P$ là trung điểm của $AB$.

Hình gửi kèm

  • 21321321.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 30-05-2014 - 02:21

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#8
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

 

Câu 1:

a) Tìm các số hữu tỉ $n$ để $n^{2}-n+13$ là số chính phương

Vì $n$ là số hữu tỷ nên $n=\frac{a}{b}\left ( a,b\epsilon \mathbb{Z} ,(a,b)=1\right )$

Ta thấy $n^2-n\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}-\frac{a}{b}=\frac{a^2-ab}{b^2}\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow a^2-ab\vdots b^2\Leftrightarrow a\left ( a-b \right )\vdots b^2$ mà $(a,b)=1$ nên $b=1$ $\Rightarrow n$ nguyên

Ta có : $n^2+13-n=k^2\Rightarrow 4k^2=4n^2-4n+52\Rightarrow 51=\left ( 2k-2n+1 \right )\left ( 2k+2n-1 \right )$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#9
BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

 

Câu 3:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}=14x-3x^{2}+8$

b) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ x+y=5-x^{2} \end{matrix}\right.$

 

xin lỗi mọi người vì trí nhớ kém nên ghi sai đề  :lol:

xin phép làm câu b

$(1)\Leftrightarrow (x+y)^{2}-2xy(1-\frac{1}{x+y})=1 \Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1)-2xy.\frac{x+y-1}{x+y}=0 \Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1-\frac{2xy}{x+y})=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y=1\\ x^{2}+y^{2}+x+y=0 \end{bmatrix}$

Nếu $x+y=1\Rightarrow 5-x^{2}=1\Rightarrow \begin{bmatrix} x=2\\ x=-2 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=-1\\ y=3 \end{bmatrix}$

Nếu $x^{2}+y^{2}+x+y=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+5-x^{2}=y^{2}+5=0$  (loại)

Vậy $(x;y)\in \begin{Bmatrix} (2;-1);(-2;3) \end{Bmatrix}$


_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#10
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Câu 2:

 

b) Cho a là nghiệm của phương trình $x^{2}-6x+1=0$  . Tính $a^{5}+\frac{1}{a^{5}}$

 

Ta có : $a^5+\frac{1}{a^5}=\left ( a^2+\frac{1}{a^2} \right )\left ( a^3+\frac{1}{a^3} \right )-\left ( a+\frac{1}{a} \right )=\left [ \left (\frac{1}{a}+a \right )^2-2 \right ]\left [ \left ( a+\frac{1}{a} \right )^3-\left ( a+\frac{1}{a} \right ) \right ]-\left ( a+\frac{1}{a} \right )$

Vì $a$ là nghiêm của PT $x^{2}-6x+1=0\Rightarrow a^2-6a+1=0\Rightarrow a+\frac{1}{a}=6$

Thay vào tính $a^{5}+\frac{1}{a^{5}}$ 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#11
BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

 

Câu 2:

a) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}=\frac{3}{2}$

Chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

 

Có lẽ câu này dễ quá nên không ai buồn làm chăng?? 

Áp dụng BĐT Cô-si: 

$a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}\leq\sum \frac{a^{2}+1-b^{2}}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^{2}=1-b^{2}\\ b^{2}=1-c^{2}\\ c^{2}=1-a^{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$


_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh