a/Gọi E và F lần lượt là các trung điểm của hai đường chéo BD và AC, trọng tâm A' của $\Delta ABC$ là điểm nằm trên trung tuyến CE và $\frac{EA'}{AC}=\frac{1}{2}$
Gọi I là trung điểm của A'C thì FI là đường trung bình của $\Delta AA'C$ do đó
FI//AA' và FI=$\frac{1}{2}$AA'
Gọi K là giao điểm của AA' với EF
Xét $\Delta EFI$: EA'=A'I;A'K//FI
=>KE=KF và A'K=$\frac{1}{2}$IF=$\frac{1}{4}$AA'
=>$\frac{A'K}{A'A}=\frac{1}{4}$
Cũng chứng minh tương tự ta được BB',CC',DD' cũng đi qua K và:
$\frac{B'K}{B'B}= \frac{C'K}{C'C}=\frac{D'K}{D'D}=\frac{A'K}{A'A}=\frac{1}{4}$
E và F là hai điểm cố định nên đoạn thẳng EF cố định. Vậy bốn đường thẳng AA',BB',CC',DD' cùng đi qua điểm cố định K.
Theo chứng minh trên:
$\frac{A'K}{A'A}= \frac{B'K}{B'B}\Rightarrow \frac{A'K}{A'A-A'K}= \frac{B'K}{B'B-B'K}$
$\frac{A'K}{KA}= \frac{B'K}{KB}\Rightarrow A'B'//AB$ (theo định lí Thales đảo)
Cũng chứng minh tương tự ta sẽ được B'C'//BC;C'D'//CD;D'A'//DA;các cạnh của tứ giác A'B'C'D' tương ứng song song với các cạnh của tứ giác ABCD,do đó các góc của tứ giác A'B'C'D' tương ứng bằng các góc của tứ giác ABCD,mà ABCD là tứ giác nội tiếp,cho nên tứ giác A'B'C'D' nội tiếp được trong một đường tròn.
b/Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau (MN là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên MN//AC;MN=$\frac{1}{2}$AC; PQ là đường trung bình của $\Delta ADC$ nên PQ//AC;PQ=$\frac{1}{2}$AC,suy ra PQ//MN và PQ=MN)
Ta có $OM\bot AB$ (đường kính đi qua trung điểm của một dây), $PP'\bot AB$, do đó OM//PP'
Tương tự OP//MM'.Gọi T là giao điểm của MM' và PP' thì tứ giác OMTP là hình bình hành vì có các cạnh đối song song từng đôi một. Gọi S là tâm của hình bình hành MNPQ, vì S là trung điểm của MP nên S cũng là tâm của hình bình hành OMTP,do đó O và T đối xứng với nhau qua S. Như vậy đường thẳng PP' là ảnh của đường thẳng OM trong phép đối xứng qua tâm S;đường thẳng MM' là ảnh của đường thẳng OP trong phép đối xứng qua tâm S. Cũng chứng minh tương tự sẽ được: NN' là ảnh của đường thẳng OQ và QQ' là ảnh của đường thẳng ON trong phép đối xứng trên
Các đường thẳng OM,ON,OP,OG đồng quy tại O, suy ra các ảnh của nó là các đường thẳng PP,QQ',MM',NN' cũng đồng quy tại điểm T là ảnh của O trong phép đối xứng qua tâm S.
P/s: câu a hình 1,câu b hình 2
File gửi kèm
-
untitled1.bmp 2.85MB
15 Số lần tải
-
untitled2.bmp 928.12K
41 Số lần tải
