Đến nội dung

Hình ảnh

Bài toán Basel

- - - - -

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Giới thiệu

Mỗi tổng vô hạn có dạng:

\begin{equation} a_1+a_2+a_3+...=\sum_{k=1}^{\infty}a_k \end{equation}

được gọi là một chuỗi số.

 

Chuỗi số xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học hiện đại. Nhiều vấn đề về mảng này đã được phát triển từ thế kỷ XVII. Trong quá trình nghiên cứu của mình, Leonhard Euler tiếp tục giải quyết nhiều bài toán quan trọng. Trong bài viết này chúng tôi sẽ giải thích lập luận Euler liên quan đến một trong những chuỗi thú vị nhất.

 

Bạn có lẽ đã biết một trong những dãy số quan trọng nhất - cấp số nhân. Cho các hằng số $a$ và $r$, ta xét tổng (gọi là tổng $N$ số hạng đầu của cấp số nhân)

\begin{equation} a+ar+ar^2+...+ar^N \end{equation}

Nếu $|r|<1$ thì ta có thể tính được tổng vô hạn, theo cách của Newton, là:

\begin{equation} a+ar+ar^2+...+a^N+...=\frac{a}{1-r} \end{equation}

Đó là chuỗi số đầu tiên và duy nhất có kết quả tổng quát được đến trong suốt thế kỷ XVII. Các chuỗi được biết đến sau đó là:

\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k(k+1)}&=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+... \label{c4}\\ &=2\left[ \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+... \right]\\ &=2 \left[ \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+ ... \right]\\ &=2 \end{align}

Phương pháp tương tự được sử dụng để tính các tổng:

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{2^k}=6;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^3}{2^k}=26 \end{equation}

Đó là các chuỗi số hội tụ. Với các chuỗi này, ta có thể thay thế một tổng vô hạn bằng một số hữu hạn. Điều này không đúng với một chuỗi số nổi tiếng mà ta quen gọi là chuỗi điều hòa:

\begin{equation} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \end{equation}

Lời giải từ thời trung cổ về tính phân kì của chuỗi điều hòa được phát hiện và xuất bản bởi một linh mục người Pháp tên là Orseme vào khoảng những năm 1350. Lập luận đó như sau:

\begin{align} &1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...\\ =&1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+...\\ \geq & 1 +\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+... \end{align}

Do đó tổng này có thể lớn bao nhiêu tùy ý. Thực tế, chuỗi này phân kỳ rất chậm. Một ước tính chính xác về tốc độ phân kỳ của nó có thể được tìm thấy trong chứng minh hiện đại hơn về sau. Người ta so sánh đồ thị của hàm số với các số hạng của chuỗi. Bằng cách tích phân hàm số và so sánh với tổng riêng của chuỗi, ta thu được kết luận. Trong trường hợp này, ta so sánh các tổng riêng của chỗi với phần diện tích phía dưới đồ thị của hàm số $y= \frac{1}{1 + x} $. Đặc biệt, hình 1 cho thấy

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}>\int_{0}^n\frac{1}{x+1}dx \end{equation}.
Dĩ nhiên, tích phân ở trên rất dễ. Kết quả cho ta:

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}>\ln (1+n) \end{equation}.

Đến đây, hàm số $y=\ln (1+x)$ không bị chặn. Vì vậy ta có thể làm cho tổng $\sum _{k=1}^ n\frac{1}{k}$ lớn bao nhiêu tùy ý bằng cách chọn $n$ phù hợp. Làm tương tự với hàm $\frac{1}{x}$ ta thấy

\begin{equation} 1+\ln (n) > \sum _{k=1}^ n\frac{1}{k} > \ln (1+n) \end{equation}

Nhờ đó, ta có thể ước lượng tốc độ phân kì của chuỗi này.

 

Chuỗi điều hòa tổng quát

Chuỗi điều hòa có thể được mô tả là tổng nghịch đảo các số tự nhiên. Tương tự, tổng nghịch đảo của các số chính phương cũng cho ta một chuỗi số:

\begin{equation} 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} \end{equation}

Câu hỏi đầu tiên là: "Chuỗi này có hội tụ không?". Nếu có thì tổng của nó bằng bao nhiêu? Để trả lời câu hỏi đầu tiên, ta chú ý rằng:

\begin{equation} 2k^2 \geq k(k+1) \end{equation} Do đó: \begin{equation} \frac{1}{k^2}\leq \frac{2}{k(k+1)} \end{equation}

So sánh với \eqref{c4}, ta dễ dàng thu được:

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k(k+1)}=2 \end{equation}

Chuỗi đã cho hội tụ, nhưng rất khó để tính kết quả chính xác của tổng. Jakob Bernoulli đã thử và không thể tìm được nó. Tiếp theo là Mengoli và Leibniz. Việc tính tổng được gọi là các bài toán Basel và chúng tôi tập trung vào giải pháp Euler cho phần còn lại của bài viết này.

 

"Đa thức vô hạn" - chuỗi lũy thừa

Trước khi giải quyết vấn đề này, ta nhắc lại lý thuyết mà Euler sử dụng. Ông viết hàm $ \sin (x) $ một cách đặc biệt, là một "đa thức vô hạn" theo cách sau:

\begin{equation} \label{c20} \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+... \end{equation}

Đó gọi là khai triển theo chuỗi lũy thừa của hàm số $\sin(x)$ bởi vì các số hạng của nó đều là các lũy thừa của $x$. Để ý rằng có thể xấp xỉ $\sin (x) \approx x$ khi $x$ đủ nhỏ. Hoặc xấp xỉ tốt hơn như:

\begin{equation} \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{3!} \end{equation}

hay

\begin{equation} \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \end{equation}
bằng cách lấy thêm nhiều số hạng phía sau. Hầu hết các hàm khác như $y=\cos(x), y=e^x,y=\ln(x)$ đều có thể biểu diễn thành chuỗi lũy thừa. Chiếc máy tính bỏ túi của bạn sử dụng điều này để có thể tính toán được các giá trị của các hàm số đó. Trong công thức \eqref{c20}, $x$ được dùng đơn vị radian chứ không phải độ.

Lời giải của Euler cho bài toán Basel Euler nghiên cứu bài toán Basel vào năm 1731, khi ông 24 tuổi bằng cách tính xấp xỉ. Đây là một công việc khó khăn khi phải tính toán bằng tay và chuỗi số này lại hội tụ chậm. Năm 1735, ông thu được kết quả chính xác sau:

 

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{equation}

Đây là một kết quả thực sự đáng chú ý. Không ai dự kiến $\pi$, tỷ lệ giữa chu vi của một vòng tròn với đường kính, lại xuất hiện trong công thức tổng.

Euler nhận xét rằng nếu đa thức $p(x)$ bậc $n$ thỏa mãn các tính chất sau:

1) $p(x)$ có các nghiệm khác $0$ là $a_1,a_2,...,a_n$.

2) $p(0)=1$.

thì $p(x)$ có thể được viết dưới dạng:

\begin{equation} p(x) = \left(1-\frac{x}{a_1}\right)\left(1-\frac{x}{a_2}\right)...\left(1-\frac{x}{a_n}\right) \end{equation}

Xét đa thức:

\begin{equation} p(x)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+... \end{equation}

là một đa thức có bậc vô hạn và $p(0)=1$. Ngoài ra, Euler cũng đã xét

\begin{equation} \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+... \end{equation}

Nhân $p(x)$ với $x$, ông thu được:

\begin{equation} xp(x) = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+... = \sin(x) \end{equation}

Do đó $p(x)$ có các nghiệm là $x=\pm k\pi, k=1,2,...$ (chính là các nghiệm khác $0$ của $\sin(x)$). Sử dụng nhận xét trên, ta có:

\begin{align} p(x)&= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+... \\ &=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)...\\ &=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)... \end{align}

Bí quyết Euler là viết $ p (x) $ theo hai cách khác nhau. Tích vô hạn cuối cùng rất phức tạp nhưng sẽ có một số hạng không đổi là $1$ và có thể đặt thừa số chung $x^2$ hạn mà không khó khăn gì:

\begin{equation} 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+... = 1- \left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+...\right)x^2+... \end{equation}

Bây giờ Euler so sánh hệ số $x^2$ ở hai vế và thu được:

\begin{equation} -\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+...\right) \end{equation}

Từ đó:

\begin{equation} 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...=\frac{\pi^2}{6} \end{equation}

Không dừng lại ở đây, Euler mở rộng tích hơn nữa và so sánh những hệ số khác nữa, ông thu được:

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90};\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^6}=\frac{\pi^6}{945}\end{equation}

Năm 1744, ông thu được:

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{26}}=\frac{2^{24}76977927\pi^{26}}{27!} \end{equation}

cũng bằng phương pháp trên.

Đặc biệt, phương pháp của ông có thể giải quyết các chuỗi:

\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2n}} \end{equation}

với mọi số tự nhiên $n$.

 

Mở rộng bài toán Basel

Phương pháp của Euler là điển hình, nó không chỉ giải quyết một mà là một lớp các bài toán tương tự. Bạn chú ý rằng, phương pháp của ông chỉ sử dụng cho các lũy thừa bậc chẵn. Thế còn đối với chuỗi:

\begin{equation} \sum _{k=1}^\infty \frac{1}{k^3}? \end{equation} 

    Câu trả lời là: chúng ta không biết. Đây vẫn là một câu hỏi mở và khá nổi tiếng. Euler đã cố gắng giải quyết nó nhưng thất bại. Kết quả tốt nhất mà ông thu được là:

\begin{equation} \sum _{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=1-\frac{1}{27}+\frac{1}{125}-...=\frac{\pi^3}{32} \end{equation}


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh