Chủ đề này có 2 trả lời

[phathuy]

Chứng minh rằng từ $0\to {{10}^{n}}$ có ${{9}^{n-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không chứa chữ số 9 $\left ( n\geq 1 \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phathuy: 30-05-2014 - 19:09

[davidsilva98]

Chứng minh rằng từ $0\to {{10}^{n}}$ có ${{9}^{n-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không chứa chữ số 9 $\left ( n\geq 1 \right )$

Bài toán phụ: Có bao nhiêu số có $n$ chữ số chia hết cho $9$ nhưng không chứa chữ số $9$.

Lời giải.

Xét số $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}}$ có n chữ số $(1< a_{1}\leq 8;0\leq a_{i}\leq 8;\forall i=\overline{2,n})$

Chữ số $a_{1}$ có 8 cách chọn (do $a_{1}\neq 0;9$)

Chữ số $a_{2}$ có 9 cách chọn (do $a_{2}\neq 9$)

Chữ số $a_{3}$ có 9 cách chọn (do $a_{3}\neq 9$)

                ...............

Chữ số $a_{n-1}$ có 9 cách chọn (do $a_{n}\neq 9$)

Giả sử chữ số $a_{n}$ có ít nhất $2$ cách chọn

Gọi $x,y$ là $2$ cách chọn trong các cách chọn của $a_{n}$ ($0\leq x< y\leq 8$)

Do $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}} \vdots 9\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\vdots 9$

Gọi $a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\equiv r(mod 9)$ nên $r+x\equiv r+y\equiv 0(mod 9)\Rightarrow x-y\vdots 9\Rightarrow x=0;y=9$ (vô lý)

Dẫn đến $a_{n}$ có $1$ cách chọn

Do đó $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}}$ có $8.9^{n-2}$ số thỏa đề bài

 

Trở lại bài toán chính

Áp dụng bái toán phụ ta có:

* Có $8.9^{n-2}$ số có $n$$(n\geq 2)$ chữ số chia hết cho $9$ nhưng không chứa chữ số .

* Có $1$ số có $1$ chữ số chia hết cho $9$ nhưng không chứa chữ số $9$.

Do đó có $1+8.9^{0}+8.9^{1}+...+8.9^{n-2}=1+8(9^{0}+9^{1}+...+9^{n-2})=9^{n-1}$ số chia hết cho $9$ nhưng không chứa chữ số $9$.

Kết luận: Trong đoạn $\begin{bmatrix} 0;10^{n} \end{bmatrix}$ có $19^{n-1}$ số chia hết cho $9$ nhưng không chứa chữ số $9$.

[phathuy]

Tớ đưa ra lời giải phức tạp hơn chút (bởi thế tớ mới hỏi xem có ai có cách ngắn hơn không)

Bổ đề: Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{n}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{n}}$, có ${{9}^{n-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ n, với mọi số nguyên dương n và số tự nhiên A.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Ta chứng minh bài toán đúng với n=1. Ta cần chứng minh. Từ $\overline{A0}$ đến $\overline{A9}$, có $1$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 ở hàng đơn vị. Xét hai trường hợp:
1) A chia hết cho 9. Dễ thấy chỉ có $1$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 ở hàng đơn vị là $\overline{A0}$.
2) A không chia hết cho 9. Dễ thấy chỉ có $1$ số chia hết cho 9 từ $\overline{A0}$ đến $\overline{A9}$ và số này không tận cùng là 9.
Bước 2: Giả sử bài toán đúng với n=k, tức là giả sử mệnh đề sau đúng: “Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k, với k là số nguyên dương và A là số tự nhiên.
Bước 3: Ta cần chứng minh bài toán đúng với n=k+1. Áp dụng giả thiết quy nạp ta có
Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A0\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
Từ $\overline{A1\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A1\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
…
Từ $\overline{A8\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A8\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
Như vậy có ${{9}^{k-1}}.9={{9}^{k}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k+1}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{k+1}}$.
Vậy bổ đề được chứng minh xong.
Trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề với A=0 ta có từ 0 đến $\underbrace{99...9}_{n}$ có ${{9}^{n-1}}$ số tự nhiên có không quá n chữ số chia hết cho 9 (tính luôn cả số 0) nhưng không chứa chữ số 9.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phathuy: 31-05-2014 - 22:41