Chủ đề này có 8 trả lời

[1414141]

Chứng minh rằng ma trận  $A \in M_n(\mathbb{K})$ là ma trận lũy linh  thì có đa thức đặc trưng là $(-1)^n\lambda^n$ và ma trận $A$ đồng dạng với ma trận tam giác trên $D$ và các phần tử trên đường chéo của ma trận này đều bằng $0$ tức là tồn tại ma trận khả ngịch C sao cho $A=C^{-1}DC$

 

Giúp em bài này với ạ.

[funcalys]

Do A lũy linh nên ta có phân tích V thành tổng trực tiếp các không gian con cyclic đối với toán tử tuyến tính biểu diễn A:

Vậy A, đối với một phân tích nào đó, có dạng:

$\begin{pmatrix}M_1 &  &  &0 \\  &M_2  &  & \\ &  &...  & \\  0& &  &M_n \end{pmatrix}$

Với khối $M_j$ có dạng $\begin{pmatrix}0 &  &  &0 \\ 1 & 0 &  & \\  & ... &...  & \\ 0 &  &1  &0 \end{pmatrix}$

Và tổng các cấp của các khối bằng n

Vậy ta dễ có được $\det(A-\lambda I_n)=(-1)^n\lambda^n$

Do A lũy linh nên A chỉ có giá trị riêng duy nhất là 0, mà ta có mọi ma trận thực đều đồng dạng với một ma trận tam giác nào đó. Để 2 ma trận này đồng dạng bắt buộc D phải có giá trị riêng bằng 0 hay các phần tử trên đường chéo chính của nó bằng 0.

[1414141]

Anh ơi em chưa học không gian con cyclic, học cái đó ở đâu ạ, mà em biết cách biến một ma trận sang dạng tam giác rồi nhưng mà có dạng $A=BDC$ với $D$ là ma trận tam giác thôi ạ, còn làm sao để $BC=E$ ạ

[funcalys]

À, phần đó được đề cập trong sách của thầy Nguyễn Hữu Việt Hưng ấy bạn, nằm trước phần dạng chuẩn tắc Jordan.

Ở đây có lẽ bạn không cần dùng đến định nghĩa và biến đổi các ma trận mà chỉ cần lập luận như trên.

Ta có định lí rằng nếu $A\in M_n(\mathbb{R})$ thì $A\approx D$ với D là một ma trận tam giác. Do A và D đồng dạng nên $\lambda_A=\lambda_D=0$ hay các phần tử trên đường chéo của ma trận này đều bằng 0.

0

[1414141]

Nhưng em ko hiểu định lý mọi ma trận đều đồng dạng với ma trận tam giác, chứng minh như thế nào ạ.

[Nxb]

Nhưng em ko hiểu định lý mọi ma trận đều đồng dạng với ma trận tam giác, chứng minh như thế nào ạ.

Mình cũng chưa từng nghe đến định lý này. Nếu như điều này xảy ra thì khá vô lý vì hoá ra mọi ma trận thực đều có giá trị riêng, nếu thế thì mọi đa thức thực đều có nghiệm? Phải chăng bạn funcalys đang nhầm đưa được về ma trận tam giác trên bằng khử Gauss với đồng dạng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 14-06-2014 - 07:51

[phudinhgioihan]

Mình cũng chưa từng nghe đến định lý này. Nếu như điều này xảy ra thì khá vô lý vì hoá ra mọi ma trận thực đều có giá trị riêng thực, nếu thế thì mọi đa thức thực đều có nghiệm thực? Phải chăng bạn funcalys đang nhầm đưa được về ma trận tam giác trên bằng khử Gauss với đồng dạng.

 

Chính xác phải là mọi ma trận đều đồng dạng với một ma trận tam giác (tam giác hóa được) trong một trường số mở rộng nào đó.

Trường hợp hay dùng tới : Mọi ma trận thực hoặc phức đều tam giác hóa được trong $\mathbb{C}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 14-01-2015 - 22:03

[quangbinng]

Chính xác phải là mọi ma trận đều đồng dạng với một ma trận tam giác (tam giác hóa được) trong một trường số mở rộng nào đó.

Trường hợp hay dùng tới : Mọi ma trận thực hoặc phức đều tam giác hóa được trong $\mathbb{C}$

 

Anh có thể nêu các bước chứng minh được không ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 14-01-2015 - 22:03

[phudinhgioihan]

Anh có thể nêu các bước chứng minh được không ạ

 

Xin chứng minh cho trường hợp thường sử dụng (tổng quát tương tự):
Ma trận $A$ cấp $n \in \mathbb{N}^*$ thực hoặc phức đều đồng dạng với ma trận tam giác (tam giác hóa được) trong $\mathbb{C}$.

 

Do ma trận tam giác trên đồng dạng với ma trận tam giác dưới cho nên ta chỉ cần chứng minh mọi ma trận phức đều đồng dạng với một ma trận tam giác trên.

Ký hiệu $\chi_A$ là đa thức đặc trưng của $A$, gtr:giá trị riêng, vtr: vecto riêng, $T_{n}(\mathbb{C})$ là tập các ma trận tam giác trên có các phần tử thuộc $\mathbb{C}$.

 

Quy nạp theo n.

Tính chất là tầm thường với n=1.

Giả sử tính chất trên đúng với $n\in \mathbb{N}^*$ và giả sử $A \in \mathbf{M}_{n+1}(\mathbb{C})$. Khi đó,$A$ có ít nhất một gtr $\lambda_1 \in \mathbb{C}$ và một vtr liên kết $V_1 \in \mathbf{M}_{n+1}(\mathbb{C})$, do đó tồn tại $B\in\mathbf{M}_{1,n}(\mathbb{C}), A_1 \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})$ sao cho $A \sim \begin{pmatrix}\lambda_1 & B \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$.

 

Ta có $\forall \lambda \in \mathbb{C},\; \chi_A(\lambda)=\det \begin{pmatrix}\lambda_1-\lambda & B \\ 0 & A_1-\lambda I_n \end{pmatrix}=(\lambda_1-\lambda) \chi_{A_1}(\lambda)$

 

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại $C \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ và $D \in T_{n}(\mathbb{C})$ sao cho $A_1=CDC^{-1}$

 

Đặt $E=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \in \mathbf{M}_{n+1}(\mathbb{C})$, khả nghịch và $E^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{pmatrix}$

 

Đặt $F=\begin{pmatrix}\lambda_1 & X \\ 0 & D \end{pmatrix} \in T_{n+1}(\mathbb{C})$ với $X \in \mathbf{M}_{1,n}(\mathbb{C})$ sẽ xác định sau để $\begin{pmatrix}\lambda_1 & B \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}=E FE^{-1}$

 

Ta có: $EFE^{-1}=\begin{pmatrix}\lambda_1 & XC^{-1} \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$

 

Chọn $X=BC$, khi đó ta được $\begin{pmatrix}\lambda_1 & B \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}=E FE^{-1}$

 

Điều này chứng tỏ $A \sim F$

 

Vậy $A$ tam giác hóa được trong $\mathbb{C}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 14-01-2015 - 22:44