Anh có thể nêu các bước chứng minh được không ạ
Xin chứng minh cho trường hợp thường sử dụng (tổng quát tương tự):
Ma trận $A$ cấp $n \in \mathbb{N}^*$ thực hoặc phức đều đồng dạng với ma trận tam giác (tam giác hóa được) trong $\mathbb{C}$.
Do ma trận tam giác trên đồng dạng với ma trận tam giác dưới cho nên ta chỉ cần chứng minh mọi ma trận phức đều đồng dạng với một ma trận tam giác trên.
Ký hiệu $\chi_A$ là đa thức đặc trưng của $A$, gtr:giá trị riêng, vtr: vecto riêng, $T_{n}(\mathbb{C})$ là tập các ma trận tam giác trên có các phần tử thuộc $\mathbb{C}$.
Quy nạp theo n.
Tính chất là tầm thường với n=1.
Giả sử tính chất trên đúng với $n\in \mathbb{N}^*$ và giả sử $A \in \mathbf{M}_{n+1}(\mathbb{C})$. Khi đó,$A$ có ít nhất một gtr $\lambda_1 \in \mathbb{C}$ và một vtr liên kết $V_1 \in \mathbf{M}_{n+1}(\mathbb{C})$, do đó tồn tại $B\in\mathbf{M}_{1,n}(\mathbb{C}), A_1 \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})$ sao cho $A \sim \begin{pmatrix}\lambda_1 & B \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$.
Ta có $\forall \lambda \in \mathbb{C},\; \chi_A(\lambda)=\det \begin{pmatrix}\lambda_1-\lambda & B \\ 0 & A_1-\lambda I_n \end{pmatrix}=(\lambda_1-\lambda) \chi_{A_1}(\lambda)$
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại $C \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ và $D \in T_{n}(\mathbb{C})$ sao cho $A_1=CDC^{-1}$
Đặt $E=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \in \mathbf{M}_{n+1}(\mathbb{C})$, khả nghịch và $E^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{pmatrix}$
Đặt $F=\begin{pmatrix}\lambda_1 & X \\ 0 & D \end{pmatrix} \in T_{n+1}(\mathbb{C})$ với $X \in \mathbf{M}_{1,n}(\mathbb{C})$ sẽ xác định sau để $\begin{pmatrix}\lambda_1 & B \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}=E FE^{-1}$
Ta có: $EFE^{-1}=\begin{pmatrix}\lambda_1 & XC^{-1} \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$
Chọn $X=BC$, khi đó ta được $\begin{pmatrix}\lambda_1 & B \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}=E FE^{-1}$
Điều này chứng tỏ $A \sim F$
Vậy $A$ tam giác hóa được trong $\mathbb{C}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 14-01-2015 - 22:44