Chủ đề này có 9 trả lời

[LittleAquarius]

Bài 1: Cho $x^{2}+y^{2}\leq x+y$. Chứng minh rằng $x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0$, $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$

[Pham Le Yen Nhi]

Bài 1: Cho $x^{2}+y^{2}\leq x+y$. Chứng minh rằng $x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0$, $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$

Bài 3: ta có 

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{(1+2+3)^{2}}{x+y+z}=36$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( \frac{1}{6};\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right )$

[caovannct]

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

 

Ta có $x+2y=x-\frac{1}{2}+2y-1+\frac{3}{2}$

mà theo bđt CBS ta có $\left ((x-\frac{1}{2})+2y-1 \right )^2\leq (1^2+2^2)\left ( (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2 \right )=5.\frac{1}{2}$

từ đó suy ra đpcm

[Pham Le Yen Nhi]

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

ta có $53=2x+3y\geq 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\leq \frac{2809}{24}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{17430}}{12}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{53}{4},y=\frac{53}{6}$

p/s: @caovannct hình như bài bạn giải là bài 1 

[buitudong1998]

Bài 1: Cho $x^{2}+y^{2}\leq x+y$. Chứng minh rằng $x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0$, $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$

Đặt $A=x+2y$ suy ra $x=A-2y$

Do đó: $5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0\rightarrow \Delta =16A^{2}-8A+1-20A^{2}+20A\geqslant 0\rightarrow 4A^{2}-12A-1\leqslant 0\rightarrow A\leqslant \frac{3+\sqrt{10}}{2}$ $(DPCM)$

[hoangmanhquan]

Đặt $A=x+2y$ suy ra $x=A-2y$

Do đó: $5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0\rightarrow$$ \Delta =16A^{2}-8A+1-20A^{2}+20A\geqslant 0\rightarrow 4A^{2}-12A-1\leqslant 0\rightarrow A\leqslant \frac{3+\sqrt{10}}{2}$ $(DPCM)$

 

Anh ơi!

Anh có thể nói chi tiết giúp em vì sao từ GT a có thể tách được ra như thế kia không ạ?

[buitudong1998]

Anh ơi!

Anh có thể nói chi tiết giúp em vì sao từ GT a có thể tách được ra như thế kia không ạ?

$x^{2}+y^{2}-x-y\leqslant 0\Leftrightarrow (A-2y)^{2}+y^{2}-(A-2y)-y\leqslant 0\Leftrightarrow 5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0$

[lovemath99]

$x^{2}+y^{2}-x-y\leqslant 0\Leftrightarrow (A-2y)^{2}+y^{2}-(A-2y)-y\leqslant 0\Leftrightarrow 5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0$

 

Nhưng sao tới đó lại có thể suy ra dc $\Delta_y \ge 0$, giải thích hộ mình

[lovemath99]

ta có $53=2x+3y\geq 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\leq \frac{2809}{24}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{17430}}{12}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{53}{4},y=\frac{53}{6}$

p/s: @caovannct hình như bài bạn giải là bài 1 

 

Đề bảo $x;y$ tự nhiên mà bạn?

[buitudong1998]

Nhưng sao tới đó lại có thể suy ra dc $\Delta_y \ge 0$, giải thích hộ mình

Cái này là định lý về dấu của tam thức bậc 2 (lớp 9 vẫn chứng minh tốt), nếu $\Delta < 0$ mà hệ số cao nhất dương thì $5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A> 0$

Do đó $\Delta \geqslant 0$