Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 LittleAquarius

LittleAquarius

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Trưng Vương, Hà Nội
  • Sở thích:Toán, toán và toán ^v^

Đã gửi 31-05-2014 - 18:24

Bài 1: Cho $x^{2}+y^{2}\leq x+y$. Chứng minh rằng $x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0$, $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$


Toán học hấp dẫn ta 
bằng những khó khăn  bằng những hi vọng

                                                                       (Hin-be)

^_^   :icon4:   :biggrin:   :lol: 


#2 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2014 - 18:29

Bài 1: Cho $x^{2}+y^{2}\leq x+y$. Chứng minh rằng $x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0$, $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$

Bài 3: ta có 

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{(1+2+3)^{2}}{x+y+z}=36$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( \frac{1}{6};\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right )$



#3 caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, Pleiku, Gia Lai

Đã gửi 31-05-2014 - 18:34

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

 

Ta có $x+2y=x-\frac{1}{2}+2y-1+\frac{3}{2}$

mà theo bđt CBS ta có $\left ((x-\frac{1}{2})+2y-1 \right )^2\leq (1^2+2^2)\left ( (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2 \right )=5.\frac{1}{2}$

từ đó suy ra đpcm



#4 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2014 - 18:52

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

ta có $53=2x+3y\geq 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\leq \frac{2809}{24}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{17430}}{12}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{53}{4},y=\frac{53}{6}$

p/s: @caovannct hình như bài bạn giải là bài 1 



#5 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 31-05-2014 - 18:58

Bài 1: Cho $x^{2}+y^{2}\leq x+y$. Chứng minh rằng $x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0$, $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$

Đặt $A=x+2y$ suy ra $x=A-2y$

Do đó: $5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0\rightarrow \Delta =16A^{2}-8A+1-20A^{2}+20A\geqslant 0\rightarrow 4A^{2}-12A-1\leqslant 0\rightarrow A\leqslant \frac{3+\sqrt{10}}{2}$ $(DPCM)$


Đứng dậy và bước tiếp

#6 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 31-05-2014 - 21:24

Đặt $A=x+2y$ suy ra $x=A-2y$

Do đó: $5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0\rightarrow$$ \Delta =16A^{2}-8A+1-20A^{2}+20A\geqslant 0\rightarrow 4A^{2}-12A-1\leqslant 0\rightarrow A\leqslant \frac{3+\sqrt{10}}{2}$ $(DPCM)$

 

Anh ơi!

Anh có thể nói chi tiết giúp em vì sao từ GT a có thể tách được ra như thế kia không ạ?


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#7 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 31-05-2014 - 21:30

Anh ơi!

Anh có thể nói chi tiết giúp em vì sao từ GT a có thể tách được ra như thế kia không ạ?

$x^{2}+y^{2}-x-y\leqslant 0\Leftrightarrow (A-2y)^{2}+y^{2}-(A-2y)-y\leqslant 0\Leftrightarrow 5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0$


Đứng dậy và bước tiếp

#8 lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Toán}$
  • Sở thích:$\textrm{Đọc sách, khoa học viễn tưởng,...}$

Đã gửi 31-05-2014 - 21:38

$x^{2}+y^{2}-x-y\leqslant 0\Leftrightarrow (A-2y)^{2}+y^{2}-(A-2y)-y\leqslant 0\Leftrightarrow 5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A\leqslant 0$

 

Nhưng sao tới đó lại có thể suy ra dc $\Delta_y \ge 0$, giải thích hộ mình :(



#9 lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Toán}$
  • Sở thích:$\textrm{Đọc sách, khoa học viễn tưởng,...}$

Đã gửi 31-05-2014 - 21:43

ta có $53=2x+3y\geq 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\leq \frac{2809}{24}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{17430}}{12}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{53}{4},y=\frac{53}{6}$

p/s: @caovannct hình như bài bạn giải là bài 1 

 

Đề bảo $x;y$ tự nhiên mà bạn?



#10 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 31-05-2014 - 21:44

Nhưng sao tới đó lại có thể suy ra dc $\Delta_y \ge 0$, giải thích hộ mình :(

Cái này là định lý về dấu của tam thức bậc 2 (lớp 9 vẫn chứng minh tốt), nếu $\Delta < 0$ mà hệ số cao nhất dương thì $5y^{2}-y(4A-1)+A^{2}-A> 0$

Do đó $\Delta \geqslant 0$


Đứng dậy và bước tiếp




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh