Chủ đề này có 7 trả lời

[ngobin99]

Cho biểu thức $ P = \frac{2x^2+2}{x}+\frac{x^3-1}{x^2-x}-\frac{x^3+1}{x^2+x}$

Với mọi x thỏa điều kiện $ x > 0, x \neq 1$ thì $\frac{8}{P}$ nhận được bao nhiêu giá trị nguyên?

[anh1999]

mình nghĩ rút gọn P=2x+2+2/x =>$\frac{8}{P}= \frac{4}{x+1+\frac{1}{x}}$ rùi thử từng TH có lẽ ra có lẽ 8/P chỉ có 1 giá trị là 1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 01-06-2014 - 16:25

[Yagami Raito]

Đầu tiên ta rút gọn $P=\dfrac{2(x^2+x+1)}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{8}{P}=\dfrac{4x}{x^2+x+1}$

Ta sẽ chứng minh $0< \dfrac{8}{P} < \dfrac{4}{3}$.

Thật vậy

               $\dfrac{4}{3}-\dfrac{4x}{x^2+x+1}=\dfrac{4(x-1)^2}{3(x^2+x+1)} \geq 0$ Dấu bằng khi $x=1$(ko t/m) $\Rightarrow \dfrac{8}{P} < \dfrac{4}{3}$

Vậy $0 < \dfrac{8}{P} < \dfrac{4}{3}$.$

Mà $\dfrac{8}{P}\in Z \Rightarrow \dfrac{8}{P}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 01-06-2014 - 16:24

[anh1999]

Đầu tiên ta rút gọn $P=\dfrac{2(x^2+x+1)}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{8}{P}=\dfrac{4x}{x^2+x+1}$

Ta sẽ chứng minh $-4 < \dfrac{8}{P} < \dfrac{4}{3}$.

Thật vậy $\dfrac{4x}{x^2+x+1}-(-4)=\dfrac{4(x+1)^2}{x^2+x+1} \geq 0$. Dấu bằng khi $x=-1$(ko t/m) $\Rightarrow -4 <\dfrac{8}{P}$

               $\dfrac{4}{3}-\dfrac{4x}{x^2+x+1}=\dfrac{4(x-1)^2}{3(x^2+x+1)} \geq 0$ Dấu bằng khi $x=1$(ko t/m) $\Rightarrow \dfrac{8}{P} < \dfrac{4}{3}$

Vậy $-4 < \dfrac{8}{P} < \dfrac{4}{3}$.$

Mà $\dfrac{8}{P}\in Z \Rightarrow \dfrac{8}{P} \in [-3;-2;-1;0;1]$

bạn ơi 8/P>0 nên phải bỏ bớt đi chứ chỉ có 1 gt là 1 thui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 01-06-2014 - 16:26

[Yagami Raito]

mình nghĩ rút gọn P=2x+2+2/x =>$\frac{8}{P}= \frac{4}{x+1+\frac{1}{x}}$ rùi thử từng TH có lẽ ra có lẽ 8/P chỉ có 1 giá trị là 1 

Cám ơn bạn mình đã sửa lại rồi nhưng cách giải của bạn không được đâu nhé.

Vì chưa chắc $x+1+\dfrac{1}{x}$ nguyên. Nên bạn không thể xét $x+1+\dfrac{1}{x} \in Ư(8)$ đâu nhé !

Vì nếu $x+1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}$ thì $\dfrac{8}{P}=16$ !. Ở đây an toàn vẫn là cách chặn mền giá trị của biểu thức !

[anh1999]

Cám ơn bạn mình đã sửa lại rồi nhưng cách giải của bạn không được đâu nhé.

Vì chưa chắc $x+1+\dfrac{1}{x}$ nguyên. Nên bạn không thể xét $x+1+\dfrac{1}{x} \in Ư(8)$ đâu nhé !

Vì nếu $x+1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}$ thì $\dfrac{8}{P}=16$ !. Ở đây an toàn vẫn là cách chặn mền giá trị của biểu thức !

. mình chưa nghĩ đến đó nếu mà thi là mất điểm rồi cảm ơn bạn đã nhắc nhở

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 01-06-2014 - 16:31

[Ngoc Hung]

Rút gọn ta có $\frac{8}{P}=\frac{4x}{x^{2}+x+1}$.

Đặt $\frac{4x}{x^{2}+x+1}=m\Rightarrow mx^{2}+(m-4)x+m=0$

Phương trình này phải có nghiệm

$\Delta \geq 0\Rightarrow 3m^{2}+8m-16\leq 0\Rightarrow -4\leq m\leq \frac{4}{3}$

[anh1999]

Rút gọn ta có $\frac{8}{P}=\frac{4x}{x^{2}+x+1}$.

Đặt $\frac{4x}{x^{2}+x+1}=m\Rightarrow mx^{2}+(m-4)x+m=0$

Phương trình này phải có nghiệm

$\Delta \geq 0\Rightarrow 3m^{2}+8m-16\leq 0\Rightarrow -4\leq m\leq \frac{4}{3}$

cách khác nhau nhưng chung mục đích mà phải kẹp thêm đk 8/p>0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 01-06-2014 - 16:44