Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2}\\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=3z^{2} \\ ...\end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2}\\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=3z^{2} \\ z^{3}(x^{2}+3x+3)=3x^{2} \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 01-06-2014 - 21:08


#2
simplyAshenlong

simplyAshenlong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

xét $(x,y,z)=(0,0,0)$ là 1 nghiệm của hệ
nếu 1 trong 3 số khác 0 dễ chứng minh được cả ba số đều khác 0
khi đó hpt trở thành $\left\{\begin{matrix} &x^3=\frac{3}{1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^2}} \\ &y^3=\frac{3}{1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^2}} \\ &z^3=\frac{3}{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}} \end{matrix}\right.$
xét hàm số $f(t)=\frac{3}{1+\frac{3}{t}+\frac{3}{t^2}}$ là hàm đồng biến
không mất tính tổng quát giả sử $x=min(x,y,z)$
khi đó $x \leq y$ và $x \leq z$
suy ra $x^3 \leq y^3$ hay $f(y) \leq f(z)$ suy ra $y \leq z$
tương tự $z \leq y$ suy ra y=z suy ra x=y=z
đến đây thay vào :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi simplyAshenlong: 01-06-2014 - 21:26


#3
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

xét $(x,y,z)=(0,0,0)$ là 1 nghiệm của hệ
nếu 1 trong 3 số khác 0 dễ chứng minh được cả ba số đều khác 0
khi đó hpt trở thành $\left\{\begin{matrix} &x^3=\frac{3}{1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^2}} \\ &y^3=\frac{3}{1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^2}} \\ &z^3=\frac{3}{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}} \end{matrix}\right.$
xét hàm số $f(t)=\frac{3}{1+\frac{3}{t}+\frac{3}{t^2}}$ là hàm đồng biến
không mất tính tổng quát giả sử $x=min(x,y,z)$
khi đó $x \leq y$ và $x \leq z$
suy ra $x^3 \leq y^3$ hay $f(y) \leq f(z)$ suy ra $y \leq z$
tương tự $z \leq y$ suy ra y=z suy ra x=y=z
đến đây thay vào :D

Đạo hàm đâu có dương mà đồng biến


Đứng dậy và bước tiếp

#4
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

xét $(x,y,z)=(0,0,0)$ là 1 nghiệm của hệ
nếu 1 trong 3 số khác 0 dễ chứng minh được cả ba số đều khác 0
khi đó hpt trở thành $\left\{\begin{matrix} &x^3=\frac{3}{1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^2}} \\ &y^3=\frac{3}{1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^2}} \\ &z^3=\frac{3}{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}} \end{matrix}\right.$
xét hàm số $f(t)=\frac{3}{1+\frac{3}{t}+\frac{3}{t^2}}$ là hàm đồng biến
không mất tính tổng quát giả sử $x=min(x,y,z)$
khi đó $x \leq y$ và $x \leq z$
suy ra $x^3 \leq y^3$ hay $f(y) \leq f(z)$ suy ra $y \leq z$
tương tự $z \leq y$ suy ra y=z suy ra x=y=z
đến đây thay vào :D

 

Đạo hàm đâu có dương mà đồng biến

Bài này vẫn chỉ ra dương đc bằng cách xét 2 vế mỗi pt

Nhưng mà có cách nào giải theo của cấp 2 ko ak



#5
simplyAshenlong

simplyAshenlong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

đây là cách cấp 2 mà bạn. mình học lớp 9 mà :D



#6
yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2}\\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=3z^{2} \\ z^{3}(x^{2}+3x+3)=3x^{2} \end{matrix}\right.$

Do $3y^2\geq 0,y^2+3y+3=(y+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}> 0= > x^3\geq 0= > x\geq 0$.Tương tự $y\geq 0,z\geq 0$

 

-Nếu có ít nhất 1 số bằng $0$.Giả sử $x=0$.Từ pt đầu của hệ thì $3y^2=0= > y=0= > z=0$

-Nếu không có số nào bằng $0$.Chia 2 vế của mỗi phương trình ta được ;

 $\left\{\begin{matrix} (\frac{y^2+3y+3}{y^2})=(\frac{3}{x^3}) & & \\ (\frac{z^2+3z+3}{z^2})=(\frac{3}{y^3})& & \\ (\frac{x^2+3x+3}{x^2})=(\frac{3}{z^2})& & \end{matrix}\right.$

Do x,y,z có vai trò như nhau nên giả sử $x\geq y\geq z= > \frac{3}{x^3}\leq \frac{3}{z^3}= > \frac{y^2+3y+3}{y^2}\leq \frac{x^2+3x+3}{x^2}< = > 3x^2y+3x^2-3xy^2-3y^2\leq 0< = > 3(xy(x-y)+(x-y)(x+y))\leq 0< = > (x-y)(xy+x+y)\leq 0< = > x\leq y$(Do $x,y> 0= > xy+x+y> 0$)

Mà theo giả thiết thì $x\geq y$.Do đó đằng thức xảy ra tại $x=y$

Thay x=y vào pt thứ nhất của hệ thì $x^3(x^2+3x+3)=3x^2< = > x(x^2+3x+3)=3< = > x^3+3x^2+3x=3< = > (x+1)^3=4< = > x+1=\sqrt[3]{4}= > x=y=\sqrt[3]{4}-1$

Thay $x=\sqrt[3]{4}-1$ vào pt thứ (3) của hệ ta tìm được $z=\sqrt[3]{4}-1$

  Vậy nghiệm của hệ là $(x,y,z)=(0,0,0)=(\sqrt[3]{4}-1,\sqrt[3]{4}-1,\sqrt[3]{4}-1)$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh