Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2}\\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=3z^{2} \\ ...\end{matrix}\right.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 01-06-2014 - 21:07

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2}\\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=3z^{2} \\ z^{3}(x^{2}+3x+3)=3x^{2} \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 01-06-2014 - 21:08


#2 simplyAshenlong

simplyAshenlong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-06-2014 - 21:24

xét $(x,y,z)=(0,0,0)$ là 1 nghiệm của hệ
nếu 1 trong 3 số khác 0 dễ chứng minh được cả ba số đều khác 0
khi đó hpt trở thành $\left\{\begin{matrix} &x^3=\frac{3}{1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^2}} \\ &y^3=\frac{3}{1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^2}} \\ &z^3=\frac{3}{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}} \end{matrix}\right.$
xét hàm số $f(t)=\frac{3}{1+\frac{3}{t}+\frac{3}{t^2}}$ là hàm đồng biến
không mất tính tổng quát giả sử $x=min(x,y,z)$
khi đó $x \leq y$ và $x \leq z$
suy ra $x^3 \leq y^3$ hay $f(y) \leq f(z)$ suy ra $y \leq z$
tương tự $z \leq y$ suy ra y=z suy ra x=y=z
đến đây thay vào :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi simplyAshenlong: 01-06-2014 - 21:26


#3 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 01-06-2014 - 21:28

xét $(x,y,z)=(0,0,0)$ là 1 nghiệm của hệ
nếu 1 trong 3 số khác 0 dễ chứng minh được cả ba số đều khác 0
khi đó hpt trở thành $\left\{\begin{matrix} &x^3=\frac{3}{1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^2}} \\ &y^3=\frac{3}{1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^2}} \\ &z^3=\frac{3}{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}} \end{matrix}\right.$
xét hàm số $f(t)=\frac{3}{1+\frac{3}{t}+\frac{3}{t^2}}$ là hàm đồng biến
không mất tính tổng quát giả sử $x=min(x,y,z)$
khi đó $x \leq y$ và $x \leq z$
suy ra $x^3 \leq y^3$ hay $f(y) \leq f(z)$ suy ra $y \leq z$
tương tự $z \leq y$ suy ra y=z suy ra x=y=z
đến đây thay vào :D

Đạo hàm đâu có dương mà đồng biến


Đứng dậy và bước tiếp

#4 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 01-06-2014 - 21:32

xét $(x,y,z)=(0,0,0)$ là 1 nghiệm của hệ
nếu 1 trong 3 số khác 0 dễ chứng minh được cả ba số đều khác 0
khi đó hpt trở thành $\left\{\begin{matrix} &x^3=\frac{3}{1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^2}} \\ &y^3=\frac{3}{1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^2}} \\ &z^3=\frac{3}{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}} \end{matrix}\right.$
xét hàm số $f(t)=\frac{3}{1+\frac{3}{t}+\frac{3}{t^2}}$ là hàm đồng biến
không mất tính tổng quát giả sử $x=min(x,y,z)$
khi đó $x \leq y$ và $x \leq z$
suy ra $x^3 \leq y^3$ hay $f(y) \leq f(z)$ suy ra $y \leq z$
tương tự $z \leq y$ suy ra y=z suy ra x=y=z
đến đây thay vào :D

 

Đạo hàm đâu có dương mà đồng biến

Bài này vẫn chỉ ra dương đc bằng cách xét 2 vế mỗi pt

Nhưng mà có cách nào giải theo của cấp 2 ko ak



#5 simplyAshenlong

simplyAshenlong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-06-2014 - 21:33

đây là cách cấp 2 mà bạn. mình học lớp 9 mà :D



#6 yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi tp Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán , Lý thích xem doraemon và conan

Đã gửi 01-06-2014 - 22:10

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2}\\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=3z^{2} \\ z^{3}(x^{2}+3x+3)=3x^{2} \end{matrix}\right.$

Do $3y^2\geq 0,y^2+3y+3=(y+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}> 0= > x^3\geq 0= > x\geq 0$.Tương tự $y\geq 0,z\geq 0$

 

-Nếu có ít nhất 1 số bằng $0$.Giả sử $x=0$.Từ pt đầu của hệ thì $3y^2=0= > y=0= > z=0$

-Nếu không có số nào bằng $0$.Chia 2 vế của mỗi phương trình ta được ;

 $\left\{\begin{matrix} (\frac{y^2+3y+3}{y^2})=(\frac{3}{x^3}) & & \\ (\frac{z^2+3z+3}{z^2})=(\frac{3}{y^3})& & \\ (\frac{x^2+3x+3}{x^2})=(\frac{3}{z^2})& & \end{matrix}\right.$

Do x,y,z có vai trò như nhau nên giả sử $x\geq y\geq z= > \frac{3}{x^3}\leq \frac{3}{z^3}= > \frac{y^2+3y+3}{y^2}\leq \frac{x^2+3x+3}{x^2}< = > 3x^2y+3x^2-3xy^2-3y^2\leq 0< = > 3(xy(x-y)+(x-y)(x+y))\leq 0< = > (x-y)(xy+x+y)\leq 0< = > x\leq y$(Do $x,y> 0= > xy+x+y> 0$)

Mà theo giả thiết thì $x\geq y$.Do đó đằng thức xảy ra tại $x=y$

Thay x=y vào pt thứ nhất của hệ thì $x^3(x^2+3x+3)=3x^2< = > x(x^2+3x+3)=3< = > x^3+3x^2+3x=3< = > (x+1)^3=4< = > x+1=\sqrt[3]{4}= > x=y=\sqrt[3]{4}-1$

Thay $x=\sqrt[3]{4}-1$ vào pt thứ (3) của hệ ta tìm được $z=\sqrt[3]{4}-1$

  Vậy nghiệm của hệ là $(x,y,z)=(0,0,0)=(\sqrt[3]{4}-1,\sqrt[3]{4}-1,\sqrt[3]{4}-1)$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh