Chủ đề này có 11 trả lời

[Cao thu]

Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm max

$\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}$

[QuynhTam]

có : $\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}=\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức schwarz có:

$\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{a+c}=\frac{b}{a+b}=\frac{c}{b+c}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$ ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau )

=> $a=b=c=\frac{2}{3}$

[lahantaithe99]

có : $\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}=\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức schwarz có:

$\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{a+c}=\frac{b}{a+b}=\frac{c}{b+c}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$ ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau )

=> $a=b=c=\frac{2}{3}$

Tìm max mà cậu

[Cao thu]

AI giải bài này hộ mình với. Max là $\frac{3}{2}$ Dấu bằng xảy ra khi $x,y,z \in \begin{bmatrix} 1;1;0 \end{bmatrix}$ và các hoán vị nhé

[synovn27]

$a^{2} \leq a$

từ đó đưa về

tìm max $\sum\frac{a}{a+c}$ bằng cách AMGM ngược dấu vs bđt bunhia phân thức

[nguyenhongsonk612]

Bạn thử giải đi xem nào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-06-2014 - 18:26

[megamewtwo]

Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm max

$\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}$

Bài này khá hay

Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$

Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\leq\sum a-\sum \frac{ac}{2}\leq \frac{3}{2}$

Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$

Nhưng nó đúng về dấu = 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 08-06-2014 - 21:54

[Cao thu]

Bài này khá hay

Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$

Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\geq \sum a-\sum \frac{ac}{2}\geq \frac{3}{2}$

Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$

Nhưng nó đúng về dấu = 

Ngược dấu rồi bạn

[megamewtwo]

Ngược dấu rồi bạn

mình sửa rồi 

nhưng theo cách của synovn27 thì BDT chở thành $\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}\geq \frac{3}{2}$

Thì BDT ngược dấu rồi mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 08-06-2014 - 22:03

[Cao thu]

Bài này khá hay

Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$

Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\leq\sum a-\sum \frac{ac}{2}\leq \frac{3}{2}$

Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$

Nhưng nó đúng về dấu = 

Đánh giá $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$ đâu xảy ra dấu bằng nhỉ

[megamewtwo]

Đánh giá $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$ đâu xảy ra dấu bằng nhỉ

Dấu = xảy ra khi (a;b;c)=(1;1;0) thôi 

VD với bộ 3 Số a=b=1;c=0 bạn thay vào xem; $\sum \frac{ac}{a+c}= \sum \frac{ac}{2}$    

[Cao thu]

Dấu = xảy ra khi (a;b;c)=(1;1;0) thôi 

VD với bộ 3 Số a=b=1;c=0 bạn thay vào xem; $\sum \frac{ac}{a+c}= \sum \frac{ac}{2}$    

Cách giải của mình: 

Ta chứng minh $\sum \frac{ab+1}{a+b}\geq 3$ 

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{ab+1}{a+b}\geq \sqrt{3\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})}$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:

$\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})\geq 3$

Bất đẳng thức tương đương

$\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})=\frac{\sum (ab+1)(bc+1)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(a+b+c)+\sum a(b^2+c^2)+2abc(ab+bc+ca)+6abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(a+b+c)+\sum a(b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)+\sum a(b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 3$

(Do $ab+bc+ca\geq 1$)

 Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{5}{2}$

Đặt $a+b=x$,  $b+c=y$,  $c+a=z$, do $a,b,c\geq 1$ nên $x,y,z\in [1,2]$ và $x+y+z=4$

Ta có: $(x-1)(x-2)\leq 0\Leftrightarrow x^2+2\leq 3x\Leftrightarrow x+\frac{2}{x}\leq 3$

Tương tự ta có: $\sum x+\sum \frac{2}{x}\leq 9\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 10-06-2014 - 19:25