Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

các bạn giải bài này

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
thuytop

thuytop

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$

CMR: $\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 02-06-2014 - 21:13


#2
yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.

CMR: \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?

Ta có $\frac{a}{1+b^{2}}=\frac{a(1+b^{2})-ab^{2}}{1+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}}\geq a-\frac{ab}{2}$

Tương tự $\frac{b}{1+c^{2}}\geq b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^{2}}\geq c-\frac{ca}{2}$

Cộng vế $\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#3
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

ta có $\sum \frac{a}{1+b^{2}}= \sum \left ( a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}} \right )\geq \left ( a+b+c \right )- \left ( \frac{ab+bc+ac}{2} \right )\geq \frac{3}{2}$

dấu = khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 02-06-2014 - 21:12


#4
thuytop

thuytop

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

ta có $\sum \frac{a}{1+b^{2}}= \sum \left ( a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}} \right )\geq \left ( a+b+c \right )- \left ( \frac{ab+bc+ac}{2} \right )\geq \frac{3}{2}$

dấu = khi a=b=c=1

Bạn nói rõ hơn tại sao: ab+ba+ac=3



#5
hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Bạn nói rõ hơn tại sao: ab+ba+ac=3

Đấy là $ab+ac+bc\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\Leftrightarrow -(ac+ab+bc)\geq -3$ đó ~O)


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#6
thuytop

thuytop

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

Đấy là $ab+ac+bc\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\Leftrightarrow -(ac+ab+bc)\geq -3$ đó ~O)

Vậy tại sao lại có $ab+ac+bc\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}

bạn chứng minh cụ thể chỗ này được không



#7
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$

CMR: $\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?

Cauchy and Chebyshev

$\frac{a}{1+b^2}+\frac{a(1+b^2)}{4}\geq a\Rightarrow \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq a+b+c-\frac{a+b+c+ab^2+bc^2+ca^2}{4}=\frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{4}=\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

p/s: Have fun  :B):



#8
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Vậy tại sao lại có $ab+ac+bc\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}

bạn chứng minh cụ thể chỗ này được không

$\Leftrightarrow 3ab+3bc+3ca\leq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3ab+3bc+3ca\leq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow 2ab+2bc+2ca\leq 2a^2+2b^2+2c^2\Leftrightarrow 0\leq a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0()$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
p/s: Đến đây chắc không cần giải thích thêm nhỉ?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: các bạn giải bài này

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh