Đến nội dung

Hình ảnh

Cho 2 tập hợp $A,B$ thỏa: Mỗi phần tử của cả $2$ phần tử $\leq 2008$,...CMR: tồn tại 2 phần tử có tổng là $2008$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
I Am Gifted So Are You

I Am Gifted So Are You

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Cho 2 tập hợp $A$ và $B$ thỏa mãn:

i, Mỗi phần tử của cả $2$ phần tử đều nhỏ hơn hoặc bằng $2008.$

ii, Tổng số phàn tử của $2$ tập hợp lớn hơn $2008.$

CMR: tồn tại 2 phần tử ở $2$ tập hợp trên mà tổng của chúng là  $2008$

@Sieusieu90 : bạn đặt sai tiêu đề , mình đã sửa cho bạn rồi . Xem lại cách đặt tiêu đề nhe!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 04-08-2014 - 16:19


#2
jumjihoo

jumjihoo

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

ta chia 2008 số hạng đầu tiên thành các cặp (0,2008);(1,2007);...(1004,1004) ta có tổng cộng 1005 cặp số. Mà tổng số phần tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008 nên tồn tại ít nhất 1 tập hợp có số phần tử lớn hơn 1004. Gọi số phần tử của tập có ít phần tử hơn (A) là a thì tập còn lại (B) có ít nhất 2009-2a phần tử khác A. ta loại đi a phần tử có trong 1005 cặp còn 1005-a cặp ko chứa phần tử nào của A. Mà 2009-2a $\geq $1005-a nên B tồn tại 1 phần tử thuộc a cặp ban đầu. Từ đó suy ra cặp đó chứa 2 phần tử thỏa mãn.

 

Cho 2 tập hợp A và B thỏa mãn:

i, Mỗi phần tử của cả 2 phần tử đều nhỏ hơn hoặc bằng 2008

ii, Tổng số phàn tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008

CMR: tồn tại 2 phần tử ở 2 tập hợp trên mà tổng của chúng = 2008



#3
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

ta chia 2008 số hạng đầu tiên thành các cặp (0,2008);(1,2007);...(1004,1004) ta có tổng cộng 1005 cặp số. Mà tổng số phần tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008 nên tồn tại ít nhất 1 tập hợp có số phần tử lớn hơn 1004. Gọi số phần tử của tập có ít phần tử hơn (A) là a thì tập còn lại (B) có ít nhất 2009-2a phần tử khác A. ta loại đi a phần tử có trong 1005 cặp còn 1005-a cặp ko chứa phần tử nào của A. Mà 2009-2a $\geq $1005-a nên B tồn tại 1 phần tử thuộc a cặp ban đầu. Từ đó suy ra cặp đó chứa 2 phần tử thỏa mãn.

 

Chắc gì 2008 số hạng đó là từ $0$ đến $2008$ bạn?



#4
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

Cho 2 tập hợp A và B thỏa mãn:

i, Mỗi phần tử của cả 2 phần tử đều nhỏ hơn 2008

ii, Tổng số phàn tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008

CMR: tồn tại 2 phần tử ở 2 tập hợp trên mà tổng của chúng = 2008

 

Trước tiên, sr I Am Gifted So Are You nhưng ở điều kiện 1) hình như phải là: mỗi tập hợp đều gồm các số nguyên dương khác nhau và nhỏ thua 2008

 

Bài giải:

 

Giả sử các phần tử của $A$ và $B$ tương ứng là $a_1,a_2,a_3,...,a_m$ và $b_1,b_2,b_3,...b_n$, ta có $m+n>2008$ (gt).

 

Xét $n$ số $c_i$ sau đây: $c_i=2008-b_i$ ($i=1,2,3,...,n$).

 

Vì các phần tử của B đôi một khác nhau nên các số $c_i$ cũng đôi một khác nhau ($1$), hơn nữa mọi số $b_i$ đều là số tự nhiên

 

lớn hơn $0$ nên mọi số $c_i$ cũng là số tự nhiên nhỏ hơn $2008$.

 

Do đó ta có $m+n$ số tự nhiên nhỏ hơn $2008$ sau đây: $a_1,a_2,a_3,...,a_m,c_1,c_2,c_3,...,c_n$

 

Vì chỉ có $2008$ số tự nhiên nhỏ hơn $2008$ trong khi $m+n>2008$ nên trong dãy này phải có hai số bằng nhau.

 

Do ($1$)  và điều kiện $i$) nên một và chỉ một trong hai số đó phải thuộc $A$: Giả sử hai số bằng nhau đó là: $a_i=c_k$.

 

Vậy $a_i=2008-b_k$ hay $a_i+b_k=2008$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 24-07-2014 - 15:38





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh