Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ là số hữu tỉ.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-06-2014 - 23:10

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ là số hữu tỉ.

 

 

_________________

Trích đề thi TS vào 10 chuyên toán PTNK TP.HCM


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#2 I Am Gifted So Are You

I Am Gifted So Are You

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tương lai
  • Sở thích:Xem phim hoạt hình và nghe nhạc
    Các thể loại yêu thích : soul, pop, vv..

Đã gửi 03-06-2014 - 01:09

Đặt $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}=a(a \in Q))\Rightarrow a-\sqrt{n-1}=\sqrt{n+1}\Leftrightarrow a^2+n-1-2a\sqrt{n-1}=n+1\Rightarrow \sqrt{n-1}=\frac{a^2-2}{2a} \in Q$
mà $n-1 \in Z $ nên $n-1$ là scp.

CMTT thì $n+1$ là scp. Đặt $n-1=b^2$, $n+1=a^2$

$\Rightarrow (a-b)(a+b)=2$ mà $a-b$, $a+b$ có cùng dư khi chia 2 nên 

$a-b\vdots 2, a+b\vdots 2\rightarrow 2\vdots 4$ (vô lí)

nên ta có dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Am Gifted So Are You: 03-06-2014 - 01:30


#3 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-06-2014 - 01:26

Đặt $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=a(a \in Q))\Rightarrow a+\sqrt{n-1}=\sqrt{n+1}\Leftrightarrow a^2+n-1+2a\sqrt{n-1}=n+1\Rightarrow \sqrt{n-1}=\frac{n+1}{2a} \in Q$
mà $n-1 \in Z $ nên $n-1$ là scp.

CMTT thì $n+1$ là scp. Đặt $n-a=b^2$, $n+1=a^2$

$\Rightarrow (a-b)(a+b)=2$ mà $a-b$, $a+b$ có cùng dư khi chia 2 nên 

$a-b\vdots 2, a+b\vdots 2\rightarrow 2\vdots 4$ (vô lí)

nên ta có dpcm

Đề là $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ bạn ạ. Nhưng dù sao cách giải cũng đúng rồi  :icon4: 


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#4 I Am Gifted So Are You

I Am Gifted So Are You

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tương lai
  • Sở thích:Xem phim hoạt hình và nghe nhạc
    Các thể loại yêu thích : soul, pop, vv..

Đã gửi 03-06-2014 - 01:31

hè viết nhầm nhiều quá đã fix lại rồi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh