Chủ đề này có 3 trả lời

[lovemathforever99]

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ là số hữu tỉ.

 

 

_________________

Trích đề thi TS vào 10 chuyên toán PTNK TP.HCM

[I Am Gifted So Are You]

Đặt $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}=a(a \in Q))\Rightarrow a-\sqrt{n-1}=\sqrt{n+1}\Leftrightarrow a^2+n-1-2a\sqrt{n-1}=n+1\Rightarrow \sqrt{n-1}=\frac{a^2-2}{2a} \in Q$
mà $n-1 \in Z $ nên $n-1$ là scp.

CMTT thì $n+1$ là scp. Đặt $n-1=b^2$, $n+1=a^2$

$\Rightarrow (a-b)(a+b)=2$ mà $a-b$, $a+b$ có cùng dư khi chia 2 nên 

$a-b\vdots 2, a+b\vdots 2\rightarrow 2\vdots 4$ (vô lí)

nên ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Am Gifted So Are You: 03-06-2014 - 01:30

[lovemathforever99]

Đặt $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=a(a \in Q))\Rightarrow a+\sqrt{n-1}=\sqrt{n+1}\Leftrightarrow a^2+n-1+2a\sqrt{n-1}=n+1\Rightarrow \sqrt{n-1}=\frac{n+1}{2a} \in Q$
mà $n-1 \in Z $ nên $n-1$ là scp.

CMTT thì $n+1$ là scp. Đặt $n-a=b^2$, $n+1=a^2$

$\Rightarrow (a-b)(a+b)=2$ mà $a-b$, $a+b$ có cùng dư khi chia 2 nên 

$a-b\vdots 2, a+b\vdots 2\rightarrow 2\vdots 4$ (vô lí)

nên ta có dpcm

Đề là $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ bạn ạ. Nhưng dù sao cách giải cũng đúng rồi   

[I Am Gifted So Are You]

hè viết nhầm nhiều quá đã fix lại rồi