Chủ đề này có 1 trả lời

[I Am Gifted So Are You]

Cho $A=2+2\sqrt{28n^2+1}$ với $n \in Z$

CMR nếu $A \in Z$ thì A là SCP

[lahantaithe99]

Cho $A=2+2\sqrt{28n^2+1}$ với $n \in Z$

CMR nếu $A \in Z$ thì A là SCP

 

Nếu $A\in \mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{28n^2+1}$ là số chính phương lẻ

 

Khi đó đặt $\sqrt{28n^2+1}=2k+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 28n^2+1=(2k+1)^2(1) & \\ A=4k+4 & \end{matrix}\right.$

 

$(1)\Leftrightarrow 28n^2=4k(k+1)\Leftrightarrow 7n^2=k(k+1)\vdots 7$

 

Mà $(k,k+1)=1\Rightarrow \begin{bmatrix} k\vdots 7 & \\ k+1\vdots 7 & \end{bmatrix}$

 

Nếu $k\vdots 7$ suy ra $k=7k_1\Rightarrow k_1(7k_1+1)=n^2$

 

Mà lại có $(k_1,7k_1+1)=1$ nên $\left\{\begin{matrix} k_1=m^2 & \\ 7k_1+1=v^2\Leftrightarrow k+1=v^2 & \end{matrix}\right.(m,v\in \mathbb{Z})$

 

Khi đó $A=4(k+1)=4v^2$ là số chính phương

 

Nếu $k+1\vdots 7\Rightarrow k=7k_1-1\Rightarrow k_1(7k_1-1)=n^2$

 

Xét tương tự ta cũng có $\left\{\begin{matrix} k_1=m_1^2 & \\ 7k_1-1=v_1^2 & \end{matrix}\right.$

 

(vô lí vì số chính phương chia $7$ không có dư là $6$)

 

Vậy...........