Chủ đề này có 3 trả lời

[I Am Gifted So Are You]

Tìm đa thức $f(x) có hệ số nguyên thỏa mãn

$16f(x^2)=[f(2x)]^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Am Gifted So Are You: 03-06-2014 - 01:24

[luuvanthai]

Tìm đa thức $f(x) có hệ số nguyên thỏa mãn

$16f(x^2)=[f(2x)]^2$

Dễ thấy thức $f(x)=0$ thỏa mãn

Giả sử đa thức $f(x)$ cần tìm có dạng $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$(a_{n}\neq 0)$

Trước hết ta giả sử 1 trong các hệ số $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}\neq 0$.Ta gọi $k< n$ là số lớn nhất sao cho $a_{k}\neq 0$

Khi đó $16f(x^{2})=16a_{n}x^{2n}+16a_{k}x^{2k}+...+16a_{1}x^{2}+a_{0}=(a_{n}2^{n}x^{n}+a_{k}2^{k}x^{k}+...+a_{1}2x+a_{0})^{2}= \left [ f(2x) \right ]^{2}$

Cân bằng hệ số của $x^{n+k}$ ta được $2.a_{n}(2x)^{n}.a_{k}(2x)^{k}=0\Leftrightarrow a_{k}=0$ (vô lý)

Do đó $a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=a_{0}=0\Rightarrow f(x)=a_{n}x^{n}$

Thay ngược trở lại ta có $f(x)=16,f(x)=x^{2},f(x)=4x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 03-06-2014 - 22:43

[I Am Gifted So Are You]

Dễ thấy thức $f(x)=0$ thỏa mãn

Giả sử đa thức $f(x)$ cần tìm có dạng $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$(a_{n}\neq 0)$

Trước hết ta giả sử 1 trong các hệ số $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}\neq 0$.Ta gọi $k< n$ là số lớn nhất sao cho $a_{k}\neq 0$

Khi đó $16f(x^{2})=16a_{n}x^{2n}+16a_{k}x^{2k}+...+16a_{1}x^{2}+a_{0}=(a_{n}2^{n}x^{n}+a_{k}2^{k}x^{k}+...+a_{1}2x+a_{0})^{2}= \left [ f(2x) \right ]^{2}$

Cân bằng hệ số của $x^{n+k}$ ta được $2.a_{n}(2x)^{n}.a_{k}(2x)^{k}=0\Leftrightarrow a_{k}=0$ (vô lý)

Do đó $a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=a_{0}=0\Rightarrow f(x)=a_{n}x^{n}$

Thay ngược trở lại ta có $f(x)=4x^{n},f(x)=x^{2}(n\in \mathbb{N})$

bạn nên xem lại đi

[Binh Le]

Bài giải này có trong một file pdf nên mình gửi ảnh luôn cho đỡ công gõ !

Hình gửi kèm

•