Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geqslant a+b+c$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Cho $a,b,c$ không âm và $x,y,z$ dương thỏa mãn: $a+b+c=x+y+z$. CMR: $\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geqslant a+b+c$


Đứng dậy và bước tiếp

#2
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a^{3}}{x^{2}}+2x \geq 3a$

Tương tự cộng vế là xong


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#3
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Cho $a,b,c$ không âm và $x,y,z$ dương thỏa mãn: $a+b+c=x+y+z$. CMR: $\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geqslant a+b+c$

Áp dụng BĐT Holder:

$(\sum a_1a_2a_3)^3\leq \sum a_1^3.\sum b_1^3.\sum c_1^3$

Bây giờ ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^3}{x^2}\geq \frac{(\sum a)^3}{(\sum x)^2}$ $(1)$

Ta có:

$(a+b+c)^3= (\sum \frac{a}{\sqrt[3]{x^2}}.\sqrt[3]{x}.\sqrt[3]{x})^3\leq (\sum \frac{a^3}{x^2})(x+y+z)^2$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{x^2}\geq \frac{(a+b+c)^3}{(x+y+z)^2}$. BĐT $(1)$ được chứng minh.

Sử dụng BĐT này ta có ngay đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 04-06-2014 - 13:37

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh