Cho $a,b,c$ không âm và $x,y,z$ dương thỏa mãn: $a+b+c=x+y+z$. CMR: $\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geqslant a+b+c$
CMR: $\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geqslant a+b+c$
#1
Đã gửi 03-06-2014 - 19:59
#2
Đã gửi 03-06-2014 - 20:20
Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a^{3}}{x^{2}}+2x \geq 3a$
Tương tự cộng vế là xong
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
#3
Đã gửi 04-06-2014 - 13:29
Cho $a,b,c$ không âm và $x,y,z$ dương thỏa mãn: $a+b+c=x+y+z$. CMR: $\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geqslant a+b+c$
Áp dụng BĐT Holder:
$(\sum a_1a_2a_3)^3\leq \sum a_1^3.\sum b_1^3.\sum c_1^3$
Bây giờ ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^3}{x^2}\geq \frac{(\sum a)^3}{(\sum x)^2}$ $(1)$
Ta có:
$(a+b+c)^3= (\sum \frac{a}{\sqrt[3]{x^2}}.\sqrt[3]{x}.\sqrt[3]{x})^3\leq (\sum \frac{a^3}{x^2})(x+y+z)^2$
$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{x^2}\geq \frac{(a+b+c)^3}{(x+y+z)^2}$. BĐT $(1)$ được chứng minh.
Sử dụng BĐT này ta có ngay đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 04-06-2014 - 13:37
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh