Chủ đề này có 8 trả lời

[songokucadic1432]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng:

$\frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b+1)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(c+1)^2}{2c^2+(a+b)^2}$$\leq 8$

thank     

[DarkBlood]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng:

$\frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b+1)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(c+1)^2}{2c^2+(a+b)^2}$$\leq 8$

thank     

BĐT tương đương $$\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{\left ( 2+\dfrac{b+c}{a} \right )^2}{2+\left ( \dfrac{b+c}{a} \right )^2}+\dfrac{\left ( 2+\dfrac{c+a}{b} \right )^2}{2+\left ( \dfrac{c+a}{b} \right )^2}+\dfrac{\left ( 2+\dfrac{a+b}{c} \right )^2}{2+\left ( \dfrac{a+b}{c} \right )^2}\leq 8$$

Đặt $x=\dfrac{b+c}{a}, y=\dfrac{c+a}{b}, z=\dfrac{a+b}{c}$ thì $xyz=x+y+z+2$ và $xyz\geq 8$ $($AM-GM$)$

Do đó $x+y+z\geq 6$ và $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\geq 12$

BĐT trở thành $$\dfrac{(2+x)^2}{2+x^2}+\dfrac{(2+y)^2}{2+y^2}+\dfrac{(2+z)^2}{2+z^2}\leq 8$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)^2}{x^2+2}+\dfrac{(y-1)^2}{y^2+2}+\dfrac{(z-1)^2}{z^2+2}\geq \dfrac{1}{2}$$

Theo BCS ta có $$\dfrac{(x-1)^2}{x^2+2}+\dfrac{(y-1)^2}{y^2+2}+\dfrac{(z-1)^2}{z^2+2}\geq \dfrac{(x+y+z-3)^2}{x^2+y^2+z^2+6}$$

Vì vậy cần chứng minh $$2(x+y+z-3)^2\geq x^2+y^2+z^2+6$$

$$\Leftrightarrow 2(x+y+z-3)^2\geq (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+6$$

Từ đó kết hợp điều kiện $x+y+z\geq 6$ và $xy+yz+zx\geq 12$ để biến đổi tương đương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 03-06-2014 - 22:53

[lahantaithe99]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng:

$\frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b+1)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(c+1)^2}{2c^2+(a+b)^2}$$\leq 8$

thank     

Cách 2:

 

Thấy $VT=\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(1-a)^2}=\sum \frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}$

 

Ta đi chứng minh $\frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}\leqslant \frac{8}{3}+4(a-\frac{1}{3})$

 

$\Leftrightarrow (3a-1)^2(4a+1)\geqslant 0$ (luôn đúng)

 

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại thu được

 

$\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant 8+4(a+b+c-1)=8$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Yagami Raito]

Cách 2:

 

Thấy $VT=\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(1-a)^2}=\sum \frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}$

 

Ta đi chứng minh $\frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}\leqslant \frac{8}{3}+4(a-\frac{1}{3})$

 

$\Leftrightarrow (3a-1)^2(4a+1)\geqslant 0$ (luôn đúng)

 

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại thu được

 

$\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant 8+4(a+b+c-1)=8$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

Hình như đoạn màu đỏ bạn sử dụng phương pháp UCT phải không?

Thánh

 

BĐT tương đương $$\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{\left ( 2+\dfrac{b+c}{a} \right )^2}{2+\left ( \dfrac{b+c}{a} \right )^2}+\dfrac{\left ( 2+\dfrac{c+a}{b} \right )^2}{2+\left ( \dfrac{c+a}{b} \right )^2}+\dfrac{\left ( 2+\dfrac{a+b}{c} \right )^2}{2+\left ( \dfrac{a+b}{c} \right )^2}\leq 8$$

Đặt $x=\dfrac{b+c}{a}, y=\dfrac{c+a}{b}, z=\dfrac{a+b}{c}$ thì $xyz=x+y+z+2$ và $xyz\geq 8$ $($AM-GM$)$

Do đó $x+y+z\geq 6$ và $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\geq 12$

BĐT trở thành $$\dfrac{(2+x)^2}{2+x^2}+\dfrac{(2+y)^2}{2+y^2}+\dfrac{(2+z)^2}{2+z^2}\leq 8$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)^2}{x^2+2}+\dfrac{(y-1)^2}{y^2+2}+\dfrac{(z-1)^2}{z^2+2}\geq \dfrac{1}{2}$$

Theo BCS ta có $$\dfrac{(x-1)^2}{x^2+2}+\dfrac{(y-1)^2}{y^2+2}+\dfrac{(z-1)^2}{z^2+2}\geq \dfrac{(x+y+z-3)^2}{x^2+y^2+z^2+6}$$

Vì vậy cần chứng minh $$2(x+y+z-3)^2\geq x^2+y^2+z^2+6$$

$$\Leftrightarrow 2(x+y+z-3)^2\geq (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+6$$

Từ đó kết hợp điều kiện $x+y+z\geq 6$ và $xy+yz+zx\geq 12$ để biến đổi tương đương.

 

Giải thích mình đoạn tô đỏ, không hiểu đoạn đó lắm  

[buitudong1998]

Hình như đoạn màu đỏ bạn sử dụng phương pháp UCT phải không?

Thánh

 

Cái đó là phương pháp tiếp tuyến mà em

Còn bài đấy chính là bài này mọi người tham khảo thêm

[DarkBlood]

Giải thích mình đoạn tô đỏ, không hiểu đoạn đó lắm

$\sum \dfrac{(2+x)^2}{2+x^2}\leq 8 \Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2+2+2(2x+1)}{x^2+2}\leq 8 \Leftrightarrow \sum \dfrac{2x+1}{x^2+2}\leq \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2+2-(x-1)^2}{x^2+2} \leq \dfrac{5}{2}$

Rồi chuyển vế là ra cái kia

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 04-06-2014 - 16:51

[Yagami Raito]

Cái đó là phương pháp tiếp tuyến mà em

Còn bài đấy chính là bài này mọi người tham khảo thêm

Đó là pp UCT mà: phương pháp hệ số bất định.

Tiện thể đăng lên cho mọi người tham khảo.

File gửi kèm

•  UCT(Undetermined Coefficient).pdf   321.24K   69 Số lần tải

[buitudong1998]

Đó là pp UCT mà: phương pháp hệ số bất định.

Tiện thể đăng lên cho mọi người tham khảo.

chắc hai cái này là một

Còn UCT trên diễn đàn mình có rồi nhé: UCT

[Yagami Raito]

chắc hai cái này là một

Còn UCT trên diễn đàn mình có rồi nhé: UCT

Mong không bị coi là spam!

UCT của diễn đàn em có đọc qua rồi...nhưng vẫn thấy UCT của anh Cẩn là hay nhất.