Cho $x,y,z$ nguyên dương thỏa $\left\{\begin{matrix} 2^x-1=y^z & \\ x>1 & \end{matrix}\right.$.
CMR: $z=1$.
CMR: $z=1$.
Bắt đầu bởi HoangHungChelski, 04-06-2014 - 00:45
#1
Đã gửi 04-06-2014 - 00:45
#2
Đã gửi 04-06-2014 - 08:15
Cho $x,y,z$ nguyên dương thỏa $\left\{\begin{matrix} 2^x-1=y^z & \\ x>1 & \end{matrix}\right.$.
CMR: $z=1$.
Dễ thấy y lẻ
Trước hết ta sẽ chứng minh z lẻ
Thật vậy . Nếu z chẵn, y lẻ => $y^{z}=(y^{2})^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1(mod 4)$
Suy ra $y^{z}+1\equiv 2(mod 4)$ nhưng $2^{x}\equiv 0(mod 4)$ do x>1
=>Vô lí => z lẻ
Nếu z=1 thoả mãn đề ra
Nếu z>1 thì
Suy ra $2^{x}=y^{z}+1=(y+1)(y^{z-1}-y^{z-2}+...+1)$
Mà $(y^{z-1}-y^{z-2}+...+1)$ có lẻ số hạng, mỗi số hạng là số lẻ nên là lẻ
Suy ra $2^{x}$ có 1 thừa số lẻ=> Vô lí
Vậy z=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Nguyen Lan 1107: 04-06-2014 - 08:26
- nghiemthanhbach, lovemathforever99, lahantaithe99 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh