câu 2:
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:
$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$
câu 3:
Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}} \ge \sqrt[32]{xyz}$
Chứng minh: $\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$
Bắt đầu bởi Simpson Joe Donald, 04-06-2014 - 12:24
#1
Đã gửi 04-06-2014 - 12:24
Simpson Joe Donald
-
- Thành viên
-
- 293 Bài viết
Thượng sĩ
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
#2
Đã gửi 04-06-2014 - 15:00
khanghaxuan
-
- Thành viên
-
- 969 Bài viết
Trung úy
câu 2:Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$câu 3:Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}} \ge \sqrt[32]{xyz}$
Hình như chỗ bôi đỏ là dấu - hay sao ấy
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
#3
Đã gửi 04-06-2014 - 16:32
ducbau007
-
- Thành viên
-
- 120 Bài viết
Trung sĩ
không mất tính tổng quát ta giả sử $\sum ab^{2}\geq \sum a^{2}b$
Từ đó ta sẽ đưa bài toán về chứng minh$\sum a^{2}b\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$
Sử dụng BĐT AM-GM ta có $abc\leq \frac{\sum a^{2}b}{3}$
$\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}=\sqrt[3]{b(a^{2}+bc)c(b^{2}+ac)a(c^{2}+ab)}\leq \frac{b(a^{2}+bc)+c(b^{2}+ac)+a(c^{2}+ab)}{3}=\frac{2\sum a^{2}b}{3}$
cộng lần lượt 2 vế của BĐT ta được dpcm
dấu bằng xảy ra tương đương với a=b=c
P/s: bài này của Korean MO năm 2001
đề năm ấy còn có thêm bài này
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR
$\sqrt{\sum a^{4}}+\sqrt{\sum a^{2}b^{2}}\geq \sqrt{\sum a^{3}b}+\sqrt{\sum ab^{3}}$- cách làm cũng tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducbau007: 04-06-2014 - 16:38
- Yagami Raito, DarkBlood, Simpson Joe Donald và 3 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 05-06-2014 - 07:43
khanghaxuan
-
- Thành viên
-
- 969 Bài viết
Trung úy
Cách khác :
Vì $a,b,c >0$ nên chia 2 vế BDT cho $abc$$\Rightarrow \sqrt{(\frac{a}{c})(\frac{b}{a})(\frac{c}{b})}\geq 1 + \sqrt[3]{{(1+\frac{a}{b}\frac{a}{c}})(1+\frac{b}{c}\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b}\frac{c}{a}})}$
Đặt $\frac{a}{c}=x , \frac{b}{a}=y , \frac{c}{b}=z$
$\Rightarrow \sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geq1+\sqrt[3]{(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})} \Rightarrow \sqrt{3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}\geq1+\sqrt[3]{2+$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$
Đặt$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$=T$
nên $\Rightarrow \sqrt{3+T}\geq1+ sqrt[3]{2+T}$
Đặt $sqrt[3]{2+T}=u \Leftrightarrow u(u+1)(u-2)\geq0 (BDT đúng )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 05-06-2014 - 07:47
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
