Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh: $\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 04-06-2014 - 12:24

câu 2:
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:
$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$
câu 3:
Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}} \ge \sqrt[32]{xyz}$

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#2 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 04-06-2014 - 15:00

 

câu 2:
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:
$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$
câu 3:
Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}} \ge \sqrt[32]{xyz}$

 

Hình như chỗ bôi đỏ là dấu - hay sao ấy 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#3 ducbau007

ducbau007

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-06-2014 - 16:32

không mất tính tổng quát ta giả sử $\sum ab^{2}\geq \sum a^{2}b$

Từ đó ta sẽ đưa bài toán về chứng minh$\sum a^{2}b\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

Sử dụng BĐT AM-GM ta có $abc\leq \frac{\sum a^{2}b}{3}$

 $\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}=\sqrt[3]{b(a^{2}+bc)c(b^{2}+ac)a(c^{2}+ab)}\leq \frac{b(a^{2}+bc)+c(b^{2}+ac)+a(c^{2}+ab)}{3}=\frac{2\sum a^{2}b}{3}$

cộng lần lượt 2 vế của BĐT ta được dpcm

 dấu bằng xảy ra tương đương với a=b=c

P/s: bài này của Korean MO năm 2001

đề năm ấy còn có thêm bài này

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

 $\sqrt{\sum a^{4}}+\sqrt{\sum a^{2}b^{2}}\geq \sqrt{\sum a^{3}b}+\sqrt{\sum ab^{3}}$- cách làm cũng tương tự


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducbau007: 04-06-2014 - 16:38


#4 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 05-06-2014 - 07:43

Cách khác :

Vì $a,b,c >0$ nên chia 2 vế BDT cho $abc$$\Rightarrow \sqrt{(\frac{a}{c})(\frac{b}{a})(\frac{c}{b})}\geq 1 + \sqrt[3]{{(1+\frac{a}{b}\frac{a}{c}})(1+\frac{b}{c}\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b}\frac{c}{a}})}$

Đặt $\frac{a}{c}=x , \frac{b}{a}=y , \frac{c}{b}=z$

$\Rightarrow \sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geq1+\sqrt[3]{(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})} \Rightarrow \sqrt{3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}\geq1+\sqrt[3]{2+$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$

Đặt$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$=T$

nên $\Rightarrow \sqrt{3+T}\geq1+ sqrt[3]{2+T}$

Đặt $sqrt[3]{2+T}=u \Leftrightarrow u(u+1)(u-2)\geq0 (BDT đúng )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 05-06-2014 - 07:47

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh