Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhluong]

Cho tam giác $ABC$ và $P$ là một điểm bất kì nằm trong tam giác, các đường $AP$,$BP$,$CP$ cắt $BC$,$CA$,$AB$ tại $A_1$, $B_1$, $C_1$; $A_2$, $B_2$, $C_2$ là trung điểm $BC$, $CA$, $AB$; $A_3$, $B_3$, $C_3$ là trung điểm $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$. Chứng minh $A_2A_3$, $B_2B_3$, $C_2C_3$ đồng qui.

 

[hamchoi98]

Gọi P', P'' lần lượt là các điểm đối xứng với P qua A₂, A₃.  Gọi M là trung điểm của AP'. 

Vì$$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_{2}}$$ nên G là trọng tâm tam giác PAP''

Suy ra $\overrightarrow{PG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PM}$ (1)

Gọi I là giao điểm của A₂A₃ với PG

Vì A₂, A₃ lần lượt là trung điểm PP', PP'' nên suy ra: $\overrightarrow{PI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{PI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{PG}$ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có B₂B₃, C₂C₃ cũng đi qua I thoả mãn hệ thức (*). Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamchoi98: 04-06-2014 - 21:10