Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :
$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-06-2014 - 23:47
Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :
$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-06-2014 - 23:47
Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :
$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$
TH1: $n\vdots p\Rightarrow$ $p \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$
$\Rightarrow$ $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$
TH2: $n\not | p\Rightarrow (n,p)=1$
Theo định lý Euler ta có:
$p^{n-1}\equiv p^{2(n-1)}\equiv ...\equiv p^{2(n-1)}\equiv 1(mod n)$
$\Rightarrow 1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}\equiv p(mod n)$
Vậy $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$.
TH1: $n\vdots p\Rightarrow$ $p \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$
$\Rightarrow$ $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$
TH2: $n\not | p\Rightarrow (n,p)=1$
Theo định lý Euler ta có:
$p^{n-1}\equiv p^{2(n-1)}\equiv ...\equiv p^{2(n-1)}\equiv 1(mod n)$
$\Rightarrow 1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}\equiv p(mod n)$
Vậy $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$.
Bạn xem lại định lý Euler , với lại 2 TH đâu có ăn nhập gì vs nhau đâu
Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :
$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$
$n$ nguyên tố thì sao thím
--------------
Thì vẫn thế :|
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-06-2014 - 13:27
Ta cần CM $n \not |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$.
Giả sử phản chứng $n |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$. Dễ thấy $(n,p)=1$
$\Rightarrow n | p^{(n-1)p}-1$.
Nếu tồn tại ước nguyên tố $q$ của $n$ mà $q|p^{n-1} -1$.
Khi đó $v_q(p^{(n-1)p}-1) = v_q(p^{n-1}-1)$. Vô lí .
Vậy mọi ước nguyên tố $q$ của $n$ đều thỏa : $q| p^{(n-1)p}-1$ và $q \not | p^{n-1} -1$
$\Rightarrow ord_q(p^{n-1})=p \Rightarrow p|q-1\Rightarrow p|n-1$
Đặt $n-1=p^a.b$ với $(b,p)=1$
Khi đó $q|p^{p^{a+1}.b}-1$ và $q \not | p^{p^a.b} - 1$
$\Rightarrow v_p(ord_q(p))= a+1 \Rightarrow v_p(q-1) \ge a+1 \Rightarrow v_p(n-1) \ge a+1$ ( vô lí)
Ta cần CM $n \not |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$.
Giả sử phản chứng $n |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$. Dễ thấy $(n,p)=1$
$\Rightarrow n | p^{(n-1)p}-1$.
Nếu tồn tại ước nguyên tố $q$ của $n$ mà $q|p^{n-1} -1$.
Khi đó $v_q(p^{(n-1)p}-1) = v_q(p^{n-1}-1)$. Vô lí .Vậy mọi ước nguyên tố $q$ của $n$ đều thỏa : $q| p^{(n-1)p}-1$ và $q \not | p^{n-1} -1$
$\Rightarrow ord_q(p^{n-1})=p \Rightarrow p|q-1\Rightarrow p|n-1$
Đặt $n-1=p^a.b$ với $(b,p)=1$
Khi đó $q|p^{p^{a+1}.b}-1$ và $q \not | p^{p^a.b} - 1$
$\Rightarrow v_p(ord_q(p))= a+1 \Rightarrow v_p(q-1) \ge a+1 \Rightarrow v_p(n-1) \ge a+1$ ( vô lí)
? xem lại lời giải giùm ví dụ n=15,p=2,q=5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ner0dragOn: 12-06-2014 - 10:03
? xem lại lời giải giùm ví dụ n=15,p=2,q=5
Là sao bạn nói rõ đi , bộ số kia thì sao ?
Là sao bạn nói rõ đi , bộ số kia thì sao ?
k quen gõ latex
bộ số kia thỏa măn p^(p.(n-1))-1 chia het cho q và p^(n-1) k chia het q
vs lại trong lời giải bạn có 1 số chỗ k rõ ràng ví dụ như dòng 7 từ trên xuống
k quen gõ latex
bộ số kia thỏa măn p^(p.(n-1))-1 chia het cho q và p^(n-1) k chia het q
vs lại trong lời giải bạn có 1 số chỗ k rõ ràng ví dụ như dòng 7 từ trên xuống
Dòng 7 từ trên xuống thì đó là tính chất của $ord$ bạn à , còn bộ số kia thì mình vẫn chưa hiểu ý bạn ?
Dòng 7 từ trên xuống thì đó là tính chất của $ord$ bạn à , còn bộ số kia thì mình vẫn chưa hiểu ý bạn ?
bạn lấy đâu tính chất số mũ của q trong p^(n-1) là p vậy? :v
giỏi ghê))))
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ner0dragOn: 12-06-2014 - 11:10
bài này phải dung thêm cấp số nh vì k biết gõ latex nên đợi mấy ngày nữa t sẽ đăng sau
bạn lấy đâu tính chất số mũ của q trong p^(n-1) là p vậy? :v
giỏi ghê ))))
Mình cũng bình thường chứ giỏi giang gì :"> . Nhưng mà ở dòng 7 thì tại $ord_q(p^{n-1}) | p$ mà nó khác $1$ nên nó phải là $p$ bạn à.
P/S : $ord$ là cấp , chứ không phải số mũ của q trong $p^{n-1}$
Mình cũng bình thường chứ giỏi giang gì :"> . Nhưng mà ở dòng 7 thì tại $ord_q(p^{n-1}) | p$ mà nó khác $1$ nên nó phải là $p$ bạn à.
P/S : $ord$ là cấp , chứ không phải số mũ của q trong $p^{n-1}$
ờ,sr t nhầm lau k học toán nên quên kí hiệu
mà sao có p là ước của n-1 ? dòng 7 đấy :v
ờ,sr t nhầm lau k học toán nên quên kí hiệu
mà sao có p là ước của n-1 ? dòng 7 đấy :v
Mọi ước nguyên tố của $n$ đều chia $p$ dư $1$ nên đâm ra $n$ chia $p$ dư $1$ nhé bạn
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh