Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng $n \not |...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-06-2014 - 23:42

Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :

$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-06-2014 - 23:47

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Hình học, bất đẳng thức

Đã gửi 05-06-2014 - 02:05

Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :

$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$

 

TH1: $n\vdots p\Rightarrow$ $p \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

$\Rightarrow$ $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

TH2: $n\not | p\Rightarrow (n,p)=1$

 

Theo định lý Euler ta có:

 

$p^{n-1}\equiv p^{2(n-1)}\equiv ...\equiv p^{2(n-1)}\equiv 1(mod n)$

 

$\Rightarrow 1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}\equiv p(mod n)$

 

Vậy $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$.



#3 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2014 - 09:57

TH1: $n\vdots p\Rightarrow$ $p \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

$\Rightarrow$ $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

TH2: $n\not | p\Rightarrow (n,p)=1$

 

Theo định lý Euler ta có:

 

$p^{n-1}\equiv p^{2(n-1)}\equiv ...\equiv p^{2(n-1)}\equiv 1(mod n)$

 

$\Rightarrow 1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}\equiv p(mod n)$

 

Vậy $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$.

Bạn xem lại định lý Euler , với lại 2 TH đâu có ăn nhập gì vs nhau đâu :P


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#4 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 09-06-2014 - 10:21

Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :

$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$

$n$ nguyên tố thì sao thím

--------------
Thì vẫn thế :|


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-06-2014 - 13:27


#5 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-06-2014 - 21:02

Ta cần CM $n \not |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$.

Giả sử phản chứng $n |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$. Dễ thấy $(n,p)=1$

$\Rightarrow n | p^{(n-1)p}-1$. 
Nếu tồn tại ước nguyên tố $q$ của $n$ mà $q|p^{n-1} -1$.
Khi đó $v_q(p^{(n-1)p}-1) = v_q(p^{n-1}-1)$. Vô lí .

Vậy mọi ước nguyên tố $q$ của $n$ đều thỏa : $q| p^{(n-1)p}-1$ và $q \not | p^{n-1} -1$

$\Rightarrow ord_q(p^{n-1})=p \Rightarrow p|q-1\Rightarrow p|n-1$

Đặt $n-1=p^a.b$ với $(b,p)=1$

Khi đó $q|p^{p^{a+1}.b}-1$ và $q \not | p^{p^a.b} - 1$

$\Rightarrow v_p(ord_q(p))= a+1 \Rightarrow v_p(q-1) \ge a+1 \Rightarrow v_p(n-1) \ge a+1$ ( vô lí)

 

 


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#6 ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Quậy và Phá
    Đấm và Đá
    lmht

Đã gửi 12-06-2014 - 09:41

Ta cần CM $n \not |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$.

Giả sử phản chứng $n |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$. Dễ thấy $(n,p)=1$

$\Rightarrow n | p^{(n-1)p}-1$. 
Nếu tồn tại ước nguyên tố $q$ của $n$ mà $q|p^{n-1} -1$.
Khi đó $v_q(p^{(n-1)p}-1) = v_q(p^{n-1}-1)$. Vô lí .

Vậy mọi ước nguyên tố $q$ của $n$ đều thỏa : $q| p^{(n-1)p}-1$ và $q \not | p^{n-1} -1$

$\Rightarrow ord_q(p^{n-1})=p \Rightarrow p|q-1\Rightarrow p|n-1$

Đặt $n-1=p^a.b$ với $(b,p)=1$

Khi đó $q|p^{p^{a+1}.b}-1$ và $q \not | p^{p^a.b} - 1$

$\Rightarrow v_p(ord_q(p))= a+1 \Rightarrow v_p(q-1) \ge a+1 \Rightarrow v_p(n-1) \ge a+1$ ( vô lí)

? xem lại lời giải giùm :) ví dụ n=15,p=2,q=5


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ner0dragOn: 12-06-2014 - 10:03


#7 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2014 - 10:18

? xem lại lời giải giùm :) ví dụ n=15,p=2,q=5

Là sao bạn nói rõ đi , bộ số kia thì sao ?


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#8 ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Quậy và Phá
    Đấm và Đá
    lmht

Đã gửi 12-06-2014 - 11:00

Là sao bạn nói rõ đi , bộ số kia thì sao ?

 

 

k quen gõ latex  :( 

bộ số kia thỏa măn p^(p.(n-1))-1 chia het cho q và p^(n-1) k chia het q

vs lại trong lời giải bạn có 1 số chỗ k rõ ràng ví dụ như dòng 7 từ trên xuống :)



#9 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2014 - 11:05

k quen gõ latex   :(

bộ số kia thỏa măn p^(p.(n-1))-1 chia het cho q và p^(n-1) k chia het q

vs lại trong lời giải bạn có 1 số chỗ k rõ ràng ví dụ như dòng 7 từ trên xuống :)

Dòng 7 từ trên xuống thì đó là tính chất của $ord$ bạn à , còn bộ số kia thì mình vẫn chưa hiểu ý bạn ?


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#10 ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Quậy và Phá
    Đấm và Đá
    lmht

Đã gửi 12-06-2014 - 11:09


Dòng 7 từ trên xuống thì đó là tính chất của $ord$ bạn à , còn bộ số kia thì mình vẫn chưa hiểu ý bạn ?

bạn lấy đâu tính chất số mũ của q trong p^(n-1) là p vậy? :v

giỏi ghê:))))))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ner0dragOn: 12-06-2014 - 11:10


#11 ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Quậy và Phá
    Đấm và Đá
    lmht

Đã gửi 12-06-2014 - 11:12

bài này phải dung thêm cấp số nh vì k biết gõ latex nên đợi mấy ngày nữa t sẽ đăng sau :)



#12 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2014 - 11:16

bạn lấy đâu tính chất số mũ của q trong p^(n-1) là p vậy? :v

giỏi ghê :))))))

Mình cũng bình thường chứ giỏi giang gì :"> . Nhưng mà ở dòng 7 thì tại $ord_q(p^{n-1}) | p$ mà nó khác $1$ nên nó phải là $p$ bạn à.
P/S : $ord$ là cấp , chứ không phải số mũ của q trong $p^{n-1}$


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#13 ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Quậy và Phá
    Đấm và Đá
    lmht

Đã gửi 12-06-2014 - 12:16

Mình cũng bình thường chứ giỏi giang gì :"> . Nhưng mà ở dòng 7 thì tại $ord_q(p^{n-1}) | p$ mà nó khác $1$ nên nó phải là $p$ bạn à.
P/S : $ord$ là cấp , chứ không phải số mũ của q trong $p^{n-1}$

ờ,sr t nhầm :( lau k học toán nên quên kí hiệu :)

mà sao có p là ước của n-1 ? dòng 7 đấy :v



#14 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2014 - 14:38

ờ,sr t nhầm :( lau k học toán nên quên kí hiệu :)

mà sao có p là ước của n-1 ? dòng 7 đấy :v

Mọi ước nguyên tố của $n$ đều chia $p$ dư $1$ nên đâm ra $n$ chia $p$ dư $1$ nhé bạn


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh