Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $n \not |...$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :

$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-06-2014 - 23:47

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :

$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$

 

TH1: $n\vdots p\Rightarrow$ $p \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

$\Rightarrow$ $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

TH2: $n\not | p\Rightarrow (n,p)=1$

 

Theo định lý Euler ta có:

 

$p^{n-1}\equiv p^{2(n-1)}\equiv ...\equiv p^{2(n-1)}\equiv 1(mod n)$

 

$\Rightarrow 1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}\equiv p(mod n)$

 

Vậy $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$.



#3
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

TH1: $n\vdots p\Rightarrow$ $p \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

$\Rightarrow$ $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$

 

TH2: $n\not | p\Rightarrow (n,p)=1$

 

Theo định lý Euler ta có:

 

$p^{n-1}\equiv p^{2(n-1)}\equiv ...\equiv p^{2(n-1)}\equiv 1(mod n)$

 

$\Rightarrow 1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}\equiv p(mod n)$

 

Vậy $n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$.

Bạn xem lại định lý Euler , với lại 2 TH đâu có ăn nhập gì vs nhau đâu :P


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#4
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên $>1$, chứng minh rằng :

$$n \not |1+p^{n-1}+p^{2(n-1)}+...+p^{(n-1)(p-1)}$$

$n$ nguyên tố thì sao thím

--------------
Thì vẫn thế :|


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-06-2014 - 13:27


#5
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

Ta cần CM $n \not |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$.

Giả sử phản chứng $n |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$. Dễ thấy $(n,p)=1$

$\Rightarrow n | p^{(n-1)p}-1$. 
Nếu tồn tại ước nguyên tố $q$ của $n$ mà $q|p^{n-1} -1$.
Khi đó $v_q(p^{(n-1)p}-1) = v_q(p^{n-1}-1)$. Vô lí .

Vậy mọi ước nguyên tố $q$ của $n$ đều thỏa : $q| p^{(n-1)p}-1$ và $q \not | p^{n-1} -1$

$\Rightarrow ord_q(p^{n-1})=p \Rightarrow p|q-1\Rightarrow p|n-1$

Đặt $n-1=p^a.b$ với $(b,p)=1$

Khi đó $q|p^{p^{a+1}.b}-1$ và $q \not | p^{p^a.b} - 1$

$\Rightarrow v_p(ord_q(p))= a+1 \Rightarrow v_p(q-1) \ge a+1 \Rightarrow v_p(n-1) \ge a+1$ ( vô lí)

 

 


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#6
ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Ta cần CM $n \not |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$.

Giả sử phản chứng $n |\dfrac{p^{(n-1)p}-1}{p^{n-1}-1}$. Dễ thấy $(n,p)=1$

$\Rightarrow n | p^{(n-1)p}-1$. 
Nếu tồn tại ước nguyên tố $q$ của $n$ mà $q|p^{n-1} -1$.
Khi đó $v_q(p^{(n-1)p}-1) = v_q(p^{n-1}-1)$. Vô lí .

Vậy mọi ước nguyên tố $q$ của $n$ đều thỏa : $q| p^{(n-1)p}-1$ và $q \not | p^{n-1} -1$

$\Rightarrow ord_q(p^{n-1})=p \Rightarrow p|q-1\Rightarrow p|n-1$

Đặt $n-1=p^a.b$ với $(b,p)=1$

Khi đó $q|p^{p^{a+1}.b}-1$ và $q \not | p^{p^a.b} - 1$

$\Rightarrow v_p(ord_q(p))= a+1 \Rightarrow v_p(q-1) \ge a+1 \Rightarrow v_p(n-1) \ge a+1$ ( vô lí)

? xem lại lời giải giùm :) ví dụ n=15,p=2,q=5


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ner0dragOn: 12-06-2014 - 10:03


#7
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

? xem lại lời giải giùm :) ví dụ n=15,p=2,q=5

Là sao bạn nói rõ đi , bộ số kia thì sao ?


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#8
ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Là sao bạn nói rõ đi , bộ số kia thì sao ?

 

 

k quen gõ latex  :( 

bộ số kia thỏa măn p^(p.(n-1))-1 chia het cho q và p^(n-1) k chia het q

vs lại trong lời giải bạn có 1 số chỗ k rõ ràng ví dụ như dòng 7 từ trên xuống :)



#9
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

k quen gõ latex   :(

bộ số kia thỏa măn p^(p.(n-1))-1 chia het cho q và p^(n-1) k chia het q

vs lại trong lời giải bạn có 1 số chỗ k rõ ràng ví dụ như dòng 7 từ trên xuống :)

Dòng 7 từ trên xuống thì đó là tính chất của $ord$ bạn à , còn bộ số kia thì mình vẫn chưa hiểu ý bạn ?


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#10
ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Dòng 7 từ trên xuống thì đó là tính chất của $ord$ bạn à , còn bộ số kia thì mình vẫn chưa hiểu ý bạn ?

bạn lấy đâu tính chất số mũ của q trong p^(n-1) là p vậy? :v

giỏi ghê:))))))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ner0dragOn: 12-06-2014 - 11:10


#11
ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

bài này phải dung thêm cấp số nh vì k biết gõ latex nên đợi mấy ngày nữa t sẽ đăng sau :)



#12
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

bạn lấy đâu tính chất số mũ của q trong p^(n-1) là p vậy? :v

giỏi ghê :))))))

Mình cũng bình thường chứ giỏi giang gì :"> . Nhưng mà ở dòng 7 thì tại $ord_q(p^{n-1}) | p$ mà nó khác $1$ nên nó phải là $p$ bạn à.
P/S : $ord$ là cấp , chứ không phải số mũ của q trong $p^{n-1}$


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#13
ner0dragOn

ner0dragOn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Mình cũng bình thường chứ giỏi giang gì :"> . Nhưng mà ở dòng 7 thì tại $ord_q(p^{n-1}) | p$ mà nó khác $1$ nên nó phải là $p$ bạn à.
P/S : $ord$ là cấp , chứ không phải số mũ của q trong $p^{n-1}$

ờ,sr t nhầm :( lau k học toán nên quên kí hiệu :)

mà sao có p là ước của n-1 ? dòng 7 đấy :v



#14
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

ờ,sr t nhầm :( lau k học toán nên quên kí hiệu :)

mà sao có p là ước của n-1 ? dòng 7 đấy :v

Mọi ước nguyên tố của $n$ đều chia $p$ dư $1$ nên đâm ra $n$ chia $p$ dư $1$ nhé bạn


Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh