Chủ đề này có 2 trả lời

[Cao thu]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{c^2+1}$

[hoanganhhaha]

$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{3}{10} +m(a-\frac{1}{3})$ 
đến đó chọn m=23/25 và chuyển vế 

[tuananh2000]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{c^2+1}$

Ta có $a^{2}+\frac{1}{9}\geq \frac{2a}{3} \Rightarrow a^{2}+1\geq \frac{2a}{3}+\frac{8}{9}$ . $CMTT$ $\Rightarrow \frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{c^2+1} \leq  \sum \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}=\sum \frac{9a}{6a+8}$$=\frac{9}{2}-\sum \frac{6}{4+3a}\leq \frac{9}{2}-\frac{(\sqrt{6}.3)^{2}}{12+3(a+b+c)}=\frac{9}{10}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$