Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}mx^2-4mx-4$ đạt cực trị tại $x_1,\,x_2$ sao cho biểu thức $$P=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[phatthemkem]

Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}mx^2-4mx-4$ đạt cực trị tại $x_1,\,x_2$ sao cho biểu thức $$P=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $y'=x^2-5mx-4m$

$y$ đạt cực trị tại $x_{1},x_{2}$ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$, suy ra $25m^2+16m> 0$

Và $\left\{\begin{matrix} x_{1}^2=5mx_{1}+4m\\ x_{2}^2=5mx_{2}+4m \end{matrix}\right.$

Nên $P=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}=\frac{m^2}{5m\left ( x_{1}+x_{2} \right )+16m}+\frac{5m\left ( x_{1}+x_{2} \right )+16m}{m^2}=\frac{m^2}{25m^2+16m}+\frac{25m^2+16m}{m^2}\geq 2$

Dấu bằng xảy ra khi $m^2=25m^2+16m\Rightarrow m=-\frac{2}{3}$

Vậy $m=-\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 09-06-2014 - 20:15