Chủ đề này có 2 trả lời

[hamchoi98]

Bài 1: Chứng minh: $\frac{a^{3}b}{ab^{2}+1}+\frac{b^{3}c}{bc^{2}+1}+\frac{c^{3}a}{ca^{2}+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{abc+1}\forall a,b,c>0$

Bài 2: Chứng minh: $\frac{(a+1)^{3}}{b^{2}}+\frac{(b+1)^{3}}{c^{2}}+\frac{(c+1)^{3}}{a^{2}}+\frac{(a+b+c)^{2}}{27}\geq 11+6\sqrt{3} \forall a,b,c>0$

Bài 3: Chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}\forall a,b,c>0$

[thinhrost1]

Bài 3: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\sum \frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^3+a^2b+ab^2}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(c+b+a)(c^2+b^2+a^2)}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}$

 

Vậy BDT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[I Am Gifted So Are You]

1,

$\sum \frac{a^3b}{ab^2+1}=\sum \frac{a^2}{b+\frac{1}{ab}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a+\sum \frac{1}{ab}}=\frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$