3 replies to this topic

[Ispectorgadget]

Cho $p\in \mathbb{R}^+$ và $k\in \mathbb{R}^+$. Giả sử đa thức $F(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+k^4$ với các hệ số thực có 4 nghiệm âm. Chứng minh $$F(p)\ge (p+k)^4.$$

[takarin1512]

Vì đa thức $F\left ( x \right )$ có 4 nghiệm âm nên ta có thể viết $F\left ( x \right )=\left ( x+x_1 \right )\left ( x+x_2 \right )\left ( x+x_3 \right )\left ( x+x_4 \right )\left ( x_1, x_2, x_3, x_4 >0 \right )\Rightarrow x_1x_2x_3x_4=k^4$

$F\left ( p \right )=\left ( p+x_1 \right )\left ( p+x_2 \right )\left ( p+x_3 \right )\left ( p+x_4 \right )\geq \left ( p+\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4} \right )^4=\left ( p+k \right )^4$

[WhjteShadow]

Vì đa thức $F\left ( x \right )$ có 4 nghiệm âm nên ta có thể viết $F\left ( x \right )=\left ( x+x_1 \right )\left ( x+x_2 \right )\left ( x+x_3 \right )\left ( x+x_4 \right )\left ( x_1, x_2, x_3, x_4 >0 \right )\Rightarrow x_1x_2x_3x_4=k^4$

$F\left ( p \right )=\left ( p+x_1 \right )\left ( p+x_2 \right )\left ( p+x_3 \right )\left ( p+x_4 \right )\geq \left ( p+\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4} \right )^4=\left ( p+k \right )^4$

Bài em làm đúng và ngắn gọn rồi, +10 điểm nhé.

[NeverDiex]

Vì đa thức F(x)F(x) có 4 nghiệm âm nên ta có thể viết F(x)=(x+x1)(x+x2)(x+x3)(x+x4)(x1,x2,x3,x4>0)⇒x1x2x3x4=k4F(x)=(x+x1)(x+x2)(x+x3)(x+x4)(x1,x2,x3,x4>0)⇒x1x2x3x4=k4

F(p)=(p+x1)(p+x2)(p+x3)(p+x4)≥(p+4√x1x2x3x4)4=(p+k)4F(p)=(p+x1)(p+x2)(p+x3)(p+x4)≥(p+x1x2x3x44)4=(p+k)4