Chủ đề này có 21 trả lời

[phuocdinh1999]

Khoá thi ngày 06 tháng 6 năm 2014

Môn: Toán(chuyên)

Thời gian: 150 phút

Câu 1:(2 điểm)

a/ Cho $a=\frac{1-\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}$. Tính $M=(a^2+a-1)^{2014}$

 

b/ Cho $x,y$ nguyên dương và $x^2+2y$ là số chính phương. Chứng minh $x^2+y$ bằng tổng của hai số chính phương

 

Câu 2:(2 điểm)

a/Giải phương trình $\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}-\sqrt{3+2x-x^2}=1$

 

b/Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} y^2-2y-2xy+4x=0 & \\ x^3+3x^2=y^2-y+2 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 3:(1 điểm)

Cho các hàm số $y=\frac{-3}{2}x+2m$ và $y=\frac{-3}{4}x^2$ có đồ thị $(d)$ và $(P)$. Tìm $m$ đề $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt nằm bên phải trục tung?

 

Câu 4: (2 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ và điểm $G$ bất kỳ trong tam giác, qua $G$ vẽ các tia vuông góc với $BC,CA,AB$ lần lượt cắt các cạnh đó tại $D,E,F$. Trên các tia $GD,GE,GF$ lấy $A',B',C'$ sao cho $\frac{GA'}{BC}=\frac{GB'}{CA}=\frac{GC'}{AB}$. Gọi $H$ là điểm đối xứng của $A$ qua $G$.

a/ Chứng minh $HB'//GC'$

b/ Chứng minh $G$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$

 

Câu 5: (2 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB,AC$ tại $E,D$; $BD$ cắt $CE$ tại $H$; $AH$ cắt $BC$ tại $I$. Vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$ của $(O)$. Chứng minh:

a/ $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEI$

b/ $MN,BD,CE$ đồng quy

 

Câu 6: (1 điểm)

Trong hệ trục toạ độ $Oxy$ có đường thẳng $(d):y=2014-x$ cắt $Ox$ tại $A$, cắt $Oy$ tại $B$. Điểm $M(x;y)$ di chuyển trên đoạn $AB$ ($M$ không trùng $A$ và $B$). Tìm $MinP=\frac{x}{\sqrt{2014-x}}+\frac{y}{\sqrt{2014-y}}$

 

 

[Ngoc Hung]

Câu 2: b) Từ phương trình (1) ta phân tích được $(y-2)(y-2x)=0$

Lần lượt thay y = 2; y = 2x vào pt (2) ta có (x, y) $(x,y)\in {(1,2);(-2,2)}$

[Ngoc Hung]

Bài 3: Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của pt $3x^{2}-6x+8m=0$ (*)

Để bài toán thỏa mãn thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}>x_{2}>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0 & \\ -\frac{b}{a}>0 & \\ \frac{c}{a}>0 & \end{matrix}\right.$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 07-06-2014 - 16:55

[Ngoc Hung]

Bài 2a: ĐKXĐ: $-1\leq x\leq 3$. Đặt $a=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\Rightarrow \sqrt{3+2x-x^{2}}=\frac{a^{2}-4}{2}$

Giải phương trình ẩn a được a = 2

$\Rightarrow \sqrt{-x^{2}+2x-3}=0\Rightarrow x=-1;x=3$

[A4 Productions]

 

Câu 2.
b/ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y^{2}-2y-2xy+4x=0\\x^{3}+3x^{2}=y^{2}-y+2\end{matrix}\right.$

PT $(1)\Leftrightarrow (y-2x)(y-2)=0$ suy ra $y=2x$ hoặc $y=2$ thế vào $(2)$ chắc là được 

[davidhg1719]

 

 

Câu 5.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Đườnng tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E, D; BD$ cắt $CE$ tại $H, AH$ cắt $BC$ tại $I$. Vẽ các tiếp tuyến $AM, AN$ của đường tròn $(O)$.
a/ Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$.
b/ Chứng minh 3 đường thẳng $MN, BD, CE$ đồng quy.

 

 

a/ Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AI,BD,CE$ nên dễ dàng suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$

b/ $AMON$ nội tiếp và $AION$ nội tiếp nên suy ra 5 điểm $A,M,I,O,N$ nội tiếp

Mặc khác $AM^{2}=AE.AB=AH.AI$ nên $\angle AHM=\angle AMI$. Tương tự $\angle AHN=\angle ANI$ 

Do đó $\angle AHM+\angle AMI=\angle AMI+\angle ANI=180^{0}$ hay $M, I, N$ thẳng hàng (đpcm)

[dobati]

a/ Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AI,BD,CE$ nên dễ dàng suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$

b/ $AMON$ nội tiếp và $AION$ nội tiếp nên suy ra 5 điểm $A,M,I,O,N$ nội tiếp

Mặc khác $AM^{2}=AE.AB=AH.AI$ nên $\angle AHM=\angle AMI$. Tương tự $\angle AHN=\angle ANI$ 

Do đó $\angle AHM+\angle AMI=\angle AMI+\angle ANI=180^{0}$ hay $M, I, N$ thẳng hàng (đpcm)

bạn ơi phải là M,H,N thẳng hàng chớ

[synovn27]

 

Câu 1.
a) Cho $a=\frac{1-(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}}$. Tính giá trị biểu thức $M=(a^{2}+a-1)^{2014}$

Ta có $\sqrt{6-4\sqrt{2}}=2-\sqrt{2};\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1; (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{2+\sqrt{3}})=2 từ đó ta có a=-1 nên M=1$

[synovn27]

Câu 2.
a) Giải phương trình sau: $\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}-\sqrt{3+2x-x^{2}}=1$

đặt $x+1=a và 3-x=b ta sẽ có hệ như sau \left\{\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}=1& & \\ a+b=4& & \end{matrix}\right.\\ dễ dàng giải được hệ này nghiệm là (a;b)=(0;4),(4;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi synovn27: 10-06-2014 - 10:22

[mnguyen99]

a/ Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AI,BD,CE$ nên dễ dàng suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$

b/ $AMON$ nội tiếp và $AION$ nội tiếp nên suy ra 5 điểm $A,M,I,O,N$ nội tiếp

Mặc khác $AM^{2}=AE.AB=AH.AI$ nên $\angle AHM=\angle AMI$. Tương tự $\angle AHN=\angle ANI$ 

Do đó $\angle AHM+\angle AMI=\angle AMI+\angle ANI=180^{0}$ hay $M, I, N$ thẳng hàng (đpcm)

bạn đổi góc lại nhé

[Viet Hoang 99]

 

Câu 2.
a) Giải phương trình sau: $\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}-\sqrt{3+2x-x^{2}}=1$

đặt $\sqrt{x+1}=a và\sqrt{3-x}=b ta sẽ có hệ như sau \left\{\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}=1& & \\ a+b=4& & \end{matrix}\right.\\ dễ dàng giải được hệ này nghiệm là (a;b)=(0;4),(4;0)$

 

$a^2+b^2=4$ nhé

Nên trình bày đủ!

[synovn27]

$a^2+b^2=4$ nhé

Nên trình bày đủ!

là do em đặt sai ạ 

đã fix

[Katyusha]

Từ đặc điểm của đoạn $AB$ và điểm $M$ ta suy ra $\begin{cases}x>0 \\ y>0 \\ x+y=2014 \end{cases}$

 

Từ đó biểu thức đã cho trở thành $P=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}$

 

 

Sử dụng BĐT AM-GM  $\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\ge 2\sqrt{x}$, $\dfrac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\ge 2\sqrt{x}$.

 

Cộng các BĐT trên vế theo vế ta suy ra $P\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}\ge \sqrt{2(x+y)}=\sqrt{4028}$

 

Vậy $\min P=\sqrt{4028}$ đạt được khi $x=y=1007$.

 

Ai giải giúp mình câu 1b. số học với

[chmod]

 

Cộng các BĐT trên vế theo vế ta suy ra $P\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}\ge \sqrt{2(x+y)}=\sqrt{4028}$

 

Ai giải giúp mình câu 1b. số học với

Đánh giá này sai rồi bạn

 Câu số học từ

[Katyusha]

À chết thật, đúng là mình không để ý

 

Mình tính dùng AM-GM cho quen thuộc, đành sửa lại theo Cauchy-Schwarz vậy

 

$P=\dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge \dfrac{(x+y)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{(x+y)^2}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\ge \dfrac{(x+y)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\sqrt{2(x+y)}}=\sqrt{4028}$

[Love Math forever]

Câu 3:(1 điểm)

Cho các hàm số $y=\frac{-3}{2}x+2m$ và $y=\frac{-3}{4}x^2$ có đồ thị $(d)$ và $(P)$. Tìm $m$ đề $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt nằm bên phải trục tung?

2 điểm phân biệt nằm bên phải trục tung tức là 2 nghiệm của PT hoành độ đều dương. Từ đó sử dụng Vi-ét là ra.

[VuDucTung]

Còn câu 1 phần b ai post lời giải lên đi 

[Love Math forever]

Câu I.b: Không biết làm thế này có đúng không.

    Đặt n^2=x^2+y  => y = (n^2-x^2)/2. Thế vào là ra.

[mathprovn]

Câu 1b): Đặt $x^2 + 2y = k^2 \Leftrightarrow k^2 - x^2= 2y \Leftrightarrow (k - x)(k + x) = 2y$

Suy ra: $(k - x)(k + x)$ chẵn.

Mặt khác: $(k - x) + (k + x) = 2k $ chẵn nên $k - x$ và $k + x$ cùng tính chẵn lẻ.

Do đó: $ k - x , k + x$ cùng chẵn.

Đặt $k - x = 2m, k + x = 2n$, với mọi $m, n$ là số nguyên dương$ (m < n)$. Khi đó: $2m.2n = 2y$ hay $y = 2mn$ và $x = n - m$

$x^2 + y = (n - m)^2 + 2mn = m^2 + n^2$ (đpcm)

[Love Math forever]

Câu 1b): Đặt $x^2 + 2y = k^2 \Leftrightarrow k^2 - x^2= 2y \Leftrightarrow (k - x)(k + x) = 2y$

Suy ra: $(k - x)(k + x)$ chẵn.

Mặt khác: $(k - x) + (k + x) = 2k $ chẵn nên $k - x$ và $k + x$ cùng tính chẵn lẻ.

Do đó: $ k - x , k + x$ cùng chẵn.

Đặt $k - x = 2m, k + x = 2n$, với mọi $m, n$ là số nguyên dương$ (m < n)$. Khi đó: $2m.2n = 2y$ hay $y = 2mn$ và $x = n - m$

$x^2 + y = (n - m)^2 + 2mn = m^2 + n^2$ (đpcm)

Hay thật. Hình như cách mình sai đúng không?