Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhluong]

Chứng minh: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+kbc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+kca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+kab}}\geq \frac{3}{\sqrt{k+1}},\forall a,b,c>0;k\geq 8$

 

[banhgaongonngon]

Chứng minh: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+kbc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+kca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+kab}}\geq \frac{3}{\sqrt{k+1}},\forall a,b,c>0;k\geq 8$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có

$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+kbc}} \right )^{2}\left ( \sum a(a^{2}+kbc) \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$(k+1)(a+b+c)^{3}\geq 9\sum a^{3}+27kabc$

 

Thật vậy ta có

$(k+1)\sum a^{3}+3(k+1)\prod (a+b)\geq 9\sum a^{3}+(k-8)\sum a^{3}+24(k+1)abc$

 

$\Rightarrow (k+1)(a+b+c)^{3}\geq 9\sum a^{3}+3(k-8)abc+24(k+1)abc=9\sum a^{3}+27kabc$

 

Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.