Cho a, b, c > 0 và abc=1. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{1+ca}}\geq 3$
Cho a, b, c > 0 và abc=1. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{1+ca}}\geq 3$
Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.
STEVE JOBS
Từ điều kiện $a+b+c\geq 3$. Ta có:
$$\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}=\sqrt{\frac{2\left ( a^{4}+b^{4} \right )}{2+2ab}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}$$
Vì vậy:
$$VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2+2bc}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{\sqrt{2+2ca}}$$
$$\sum _{cyc}\frac{a^{2}}{\sqrt{2+2ab}}+\sum _{cyc}\frac{b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sqrt{2+2ab}+\sqrt{2+2bc}+\sqrt{2+2ca}}$$
$$\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )^{2}}{\dfrac{3+ab}{2}+\dfrac{3+bc}{2}+\dfrac{3+ca}{2}}\geq \frac{4\left ( a+b+c \right )^{2}}{9+\dfrac{\left (a+b+c \right )^{2}}{3}}\geq 3$$
$$\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Cho a, b, c > 0 và abc=1. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{1+ca}}\geq 3$
Với $abc=1= > \sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3$
Theo AM-GM có:$\prod (a^4+b^4)\geq \frac{8(\sum a^4)(\sum a^4b^4)}{9}\geq \frac{8}{9}(\sum a^4).\frac{(\sum a^2b^2)^2}{3}\geq \frac{8}{27}(\sum a^4)(\frac{(\sum ab)^2}{3})^2\geq \frac{8}{27.9}(\sum a^4).(3abc(\sum a))^2=\frac{8}{27}(\sum a^4)(\sum a)^2\geq \frac{8}{27}\frac{(\sum a)^4}{27}(\sum a)^2=\frac{8(\sum a)^6}{27^2}$ (1)
Mà theo BĐT $\prod (a^4+b^4)\geq \frac{8(\sum a^4)(\sum a^4b^4)}{9}\geq \frac{8(\sum a^4).3\sqrt[3]{(abc)^8}}{9}=\frac{8(\sum a^4)}{3}$(Do abc=1) (2)
Từ (1),(2) có ĐPCM
$\prod (1+ab)\leq \frac{(3+\sum ab)^3}{27}\leq \frac{(2\sum ab)^3}{27}=\frac{8(\sum ab)^3}{27}\leq \frac{8}{27}.(\frac{(\sum a)^2}{3})^3=\frac{8(\sum a)^6}{27^2}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh