Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và abc=1. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{1+ca}}\geq 3$

 


Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#2
tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

Từ điều kiện $a+b+c\geq 3$. Ta có:
$$\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}=\sqrt{\frac{2\left ( a^{4}+b^{4} \right )}{2+2ab}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}$$
Vì vậy:
$$VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2+2bc}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{\sqrt{2+2ca}}$$
$$\sum _{cyc}\frac{a^{2}}{\sqrt{2+2ab}}+\sum _{cyc}\frac{b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sqrt{2+2ab}+\sqrt{2+2bc}+\sqrt{2+2ca}}$$
$$\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )^{2}}{\dfrac{3+ab}{2}+\dfrac{3+bc}{2}+\dfrac{3+ca}{2}}\geq \frac{4\left ( a+b+c \right )^{2}}{9+\dfrac{\left (a+b+c  \right )^{2}}{3}}\geq 3$$
$$\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$



#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và abc=1. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{1+ca}}\geq 3$

Với $abc=1= > \sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3$

Theo AM-GM có:$\prod (a^4+b^4)\geq \frac{8(\sum a^4)(\sum a^4b^4)}{9}\geq \frac{8}{9}(\sum a^4).\frac{(\sum a^2b^2)^2}{3}\geq \frac{8}{27}(\sum a^4)(\frac{(\sum ab)^2}{3})^2\geq \frac{8}{27.9}(\sum a^4).(3abc(\sum a))^2=\frac{8}{27}(\sum a^4)(\sum a)^2\geq \frac{8}{27}\frac{(\sum a)^4}{27}(\sum a)^2=\frac{8(\sum a)^6}{27^2}$ (1)

Mà theo BĐT $\prod (a^4+b^4)\geq \frac{8(\sum a^4)(\sum a^4b^4)}{9}\geq \frac{8(\sum a^4).3\sqrt[3]{(abc)^8}}{9}=\frac{8(\sum a^4)}{3}$(Do abc=1) (2)

Từ (1),(2) có ĐPCM

$\prod (1+ab)\leq \frac{(3+\sum ab)^3}{27}\leq \frac{(2\sum ab)^3}{27}=\frac{8(\sum ab)^3}{27}\leq \frac{8}{27}.(\frac{(\sum a)^2}{3})^3=\frac{8(\sum a)^6}{27^2}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh