Cho a, b, c > 0 và a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng:
$2\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{1}{2}\sum \frac{a}{b+c}\geq ab+bc+ca$
$2\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{1}{2}\sum \frac{a}{b+c}\geq ab+bc+ca$
Bắt đầu bởi thanhluong, 07-06-2014 - 16:58
#1
Đã gửi 07-06-2014 - 16:58
thanhluong
-
- Thành viên
-
- 122 Bài viết
Trung sĩ
Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.
STEVE JOBS
#2
Đã gửi 10-06-2014 - 12:47
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a, b, c > 0 và a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng:
$2\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{1}{2}\sum \frac{a}{b+c}\geq ab+bc+ca$
Từ giả thiết ta có $6=a+b+c+ab+bc+ca\leqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}+ab+bc+ca\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 3$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$2\sum \frac{a^2}{b+c}+\frac{1}{2}\sum \frac{a}{b+c}\geqslant 3$
Lại có $6=a+b+c+ab+bc+ca\leqslant a+b+c+\frac{(a+b+c)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\geqslant 3$
Và $2(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+b})\geqslant \frac{2(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=a+b+c\geqslant 3$
Vậy đẳng thức không xảy ra
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
