Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhluong]

Chứng minh: $\frac{a(y+z)}{b+c}+\frac{b(z+x)}{c+a}+\frac{c(x+y)}{a+b}\geq 3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z},\forall a,b,c,x,y,z>0$

[banhgaongonngon]

Chứng minh: $\frac{a(y+z)}{b+c}+\frac{b(z+x)}{c+a}+\frac{c(x+y)}{a+b}\geq 3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z},\forall a,b,c,x,y,z>0$

 

Bất đẳng thức trên là thuần nhất với các biến $x,y,z$ nên ta có thể giả sử $x+y+z=3$

 

Ta cần chứng minh

$\sum \frac{a}{b+c}\left ( y+z \right )\geq \sum xy$

 

Ta có

$\sum \frac{a}{b+c}(y+z)=3\sum \frac{a}{b+c}-\sum \frac{a}{b+c}x\geq 3\sum \frac{a}{b+c}-\sqrt{\left ( \sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}} \right )\left ( \sum x^{2} \right )}$

 

Mặt khác theo bất đẳng thức $C-S$ thì

$\sqrt{\left ( \sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}} \right )\left ( \sum x^{2} \right )}+\sqrt{\frac{1}{2}\sum xy.2\sum xy} \leq \sqrt{(x+y+z)^{2}\left ( \sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{2}\sum xy \right )}$

 

$\Rightarrow 3\sqrt{\sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{3}{2}}-\sum \sqrt{\left ( \sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}} \right )\left ( \sum x^{2} \right )}\geq \sum xy$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sqrt{\sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{3}{2}}$

 

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

$\sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

$\Leftrightarrow \sum ab(a+b)\geq \frac{3}{4}(a+b)(b+c)(c+a)$ (đúng)